miércoles, 11 de agosto de 2010

TRENES DE ENGRANES

Valor del tren
    Un mecanismo que transmite movimiento desde una flecha motriz hasta una flecha accionada, por mediación de dos o mas engranes se denomina un tren de engranaje. Los problemas concernientes a los cálculos de las relaciones de velocidades de estos trenes se considerarán en este capítulo.

El valor del tren se define como la relación de:


     Estas velocidades se miden en los trenes de engranaje ordinarios con referencia a la bancada fija sobre la cual están motadas y soporta las flechas de los engranes.

     El signo positivo de un valor del tren indica que la primera y última ruedas giran en el mismo sentido; el signo negativo indica que giran en sentidos opuestos.

     La ley general de los engranes mostró que las relaciones de velocidades se ajusta para cualquier par de ruedas dentadas, ya sean engranes comunes, engranes helicoidales, engranes cónicos, etc. Esta ley establece que la relación de velocidad de un par de engranes esta en relación inversa al número de dientes. De esta manera el método para encontrar el valor del tren en términos del numero de dientes es el mismo para todos los trenes de engranajes, no importando la variedad de engranes que contengan.

 Un tren de engranaje simple

     Es uno en el cual no existen dos ruedas rígidamente ajustada a la misma flecha, para que giren a la misma velocidad angular. La figura 10.1 muestra un tren de este tipo. Aquí el movimiento se transmite de 2 hasta 5 a través de las ruedas 3 y 4. Por definición, el valor del tren es ω51/ω21. Los círculos primitivos de los engranes giran juntos sin deslizamientos; de esta forma la velocidad de la líneas primitiva es la misma para todos. Se deduce que la rueda 5, a través del contacto con la 4, girará a la misma velocidad de la línea primitiva como si estuviera engranada con la 2.


Los tamaños de las ruedas intermedias 3 y 4 o el numero de dientes que contengan, no tienen ningún efecto sobre el valor del tren. Por esta razón, 3 y 4 comúnmente se denomina “locas o parásitas”. Esto en parte no esta bien dicho, en vista de que las ruedas trasmiten en la misma forma en que lo hacen las ruedas 2 y 5.

Si quitáramos la rueda 4 del tren de engranaje y la 5 se moviera desde la 3, la rueda 5 tendría la misma velocidad, pero en sentido opuesto. Por lo anterior, el número de las ruedas locas controla el signo del valor el tren de engranaje.

En vista de lo anterior es evidente que el valor del tren para un tren de engranaje simple, es igual a la relación inversa del número de engranajes de la Fig. 9.1,

 donde N2 y N5 son el numero de dientes.

  Inspeccionado, se observa que las ruedas 2 y 5 giran en sentidos opuestos , lo cual explica el signo negativo. Substituyendo por el número de dientes indicado en la figura, obtenemos

    La figura 10.2 muestra un tren de engranaje simple que contiene un engrane anular o interno 2, el cual mueve una rueda loca 3 que a su vez mueve la rueda 4.

La relación del tren es:
    Empleamos el signo negativo, ya que la rueda motriz gira en sentido de las manecillas del reloj, cuando la rueda accionada gira en sentido contrario a las manecillas el reloj.

 Un tren de engranaje compuesto

    Es aquel en el cual, cuando menos un par de ruedas se encuentran rígidamente fijas a la misma flecha para que las dos giren a la misma velocidad angular. Uno de estos trenes se muestran en la fig. 10.3.

    En este tren la transmisión es a través de 2, 3, 4, 5, en ese orden y las ruedas 3 y 4 se encuentra montadas sobre la misma flecha. Para localizar la relación del tren proseguimos como sigue: Considerando las ruedas 2 y 3,

También considerando las ruedas 4 y 5,
Multiplicando las ecuaciones A y B obtenemos



 pero ω31=ω41 en vista de que estas ruedas están motadas sobre la misma flecha.
Por esto


Si denominamos a la primera rueda de cada par de engranes la motriz y a la segunda rueda la accionada, podemos escribir:

     El signo como dijimos anteriormente, depende de si la rotación del extremo accionada del tren es el mismo o si es opuesto al extremo motriz. Los trenes de engranajes compuestos comúnmente se emplean cuando la reducción de velocidad es grande.

    En casos como tales, un tren de engranaje simple con la misma relación de velocidad, podría requerir el uso de un engranaje muy grande.

Trenes de engranaje recurrentes compuestos

     Se dice que un tren de engranaje es recurrente cuando la primera y última rueda son coaxiales. Los trenes de engranajes en las transmisiones de los automóviles que se usan para “primera” , “ segunda” o “ reversa” son de este tipo. La primera y última rueda son coaxiales de tal forma que se pueden acolar conjuntamente cuando el automóvil esta en “ tercera “. Los engranes de un torno forma parte de un tren de engranaje recurrente. En la Fig. 10.4 se muestra un tren recurrente de 4 engranes comunes, 3 y 4 se encuentran fijos a la misma flecha.

La distancia entre centro y centro de las flechas en R2+ R3 = R4 + R5.

Si todas las ruedas tienen dientes del mismo paso o módulo, el numero de dientes es proporcional a sus radios primitivos. Por esto, si R2 = C X N2 entonces R3 = C X N3 , R4 = C XN4, R5 = C X N5, donde C es constante. Sustituyendo estos valores en la ecuación arriba mencionada obtenemos

N2 + N3 = N4 + N5

EJEMPLO: En la Fig. 10.4 se muestra un tren de 4 engranes recurrentes, con un valor del tren de 1/6. La rueda 2 tiene 20 dientes; la rueda 3, 40 dientes. Encontrar el numero de dientes para las ruedas 4 y 5 considerando que el paso de los dientes es el mismo para todas las ruedas.

El valor del tren es

Por lo tanto:


 También:
    Las ecuaciones A y B solucionan N4 y N5. Por consiguiente encontramos que N4 = 15 y N5 = 45.

Transmisión del automóvil. La figura 10.5 ilustra un tipo común de transmisión para un automóvil que ofrece tres velocidades: avance, neutral y reversa. El miembro mas importante consiste en la flecha motriz A y la flecha accionada B, los engranes F, G, H, L están rígidamente conectados uno otro y giran sobre una flecha lateral. La ilustración muestra la transmisión en su posición neutra. Los engranes C y F siempre se encuentran engranados, para que la unidad F, G, H, I siempre este en movimiento.

     El sistema de engranaje se controla por la palanca M que acciona los engranes D o E hacia la derecha o hacia la izquierda según se desee la transmisión trabaja como sigue:

(a)Tercera velocidad (transmisión directa). El engrane D se mueve hacia la izquierda, los dientes internos de D engranan con C. Las flechas A y B giran ahora a la misma velocidad. (b)Segunda velocidad. El engrane D se corre hacia la derecha, engranando con G. El tren de engranaje recurrente D, F, G, D, ocasiona que B gire el mimo sentido que A, pero a una velocidad reducida.

c) Primera velocidad. Se mueve el engrane E, hacia la izquierda para que engrane con H. El tren de engranaje C, F, H, E mueve a B en el mismo sentido que A, pero con una reducción de velocidad de un valor mas grande que en la posición de la segunda velocidad, debido a la reducción en la relación del numero de dientes, NH:NE comparado con NG:ND. (d) Reversa. El engrane E se mueve hacia la derecha engranando con una rueda loca situada detrás del plano de la lección y que engrana con L. Esta rueda loca no esta indicada en la figura.

     El movimiento ahora se transmite a través de G, F, L hacia la rueda loca y a través de ella hasta E, ocasionando que B gire en un sentido opuesto al de A.

Trenes de engranes epicicloidales o planetarios

     En los trenes de engranajes comunes discutidos anteriormente, las ruedas giran con referencia a ejes fijos.

    El marco soporta las ruedas y forma el eslabón fijo en el mecanismo. Por otro lado, en un tren de engranaje epicicloidal, los ejes de algunas de las ruedas se encuentran en movimiento, y uno de los engranes generalmente se convierte en el eslabón fijo. Un tren de engranaje común y corriente se puede convertir en un  ren epicicloidal fijando una de las ruedas, y ocasionando que gire el marco que soporta los ejes de las ruedas. El tren de engranaje epicicloidal de la Fig. 10.6 tiene una rueda 1 estacionaria, y el marco 3 gira alrededor del perno en A con el resultado de que 2 gira alrededor sobre 1.

 
   Lo que frecuentemente deseamos saber sobre un tren epicicloidal, es la relación entre velocidad angular de las ruedas movidas y la velocidad angular del marco que soporta los ejes de las ruedas.

    En la fig. 10.6 esta es ω21/ω31 midiéndose las dos velocidades con respecto a la rueda fija. Esta cantidad podemos denominarla el valor epicicloidal, consideraremos un método para calcularlo. Método general para calcular las relaciones de velocidad de trenes de engranajes epicicloidales (que también se puede emplear cuando ningún miembro se sostiene fijo), se describe a continuación, consistiendo de tres pasos.

1.-Todo el tren de engranaje se encuentra enclavado para que no haya movimiento relativo de las partes, y luego se gira una revolución en el sentido de las manecillas del reloj, Como resultado, cada miembro del tren girará un revolución en el sentido de las manecillas del reloj. Esto se puede aclarar si giramos lentamente este libro una revolución, y notamos que cada miembro en la ilustración del tren hace una revolución con referencia a su propio eje.

2.-El tren epicicloidal se convierte ahora en un tren ordinario si enclavamos el marco sobre el cual se encuentran montados los engranes, y al mismo tiempo liberamos el engrane fijo. El engrane que anteriormente era fijo se gira ahora una revolución en sentido contrario a las manecillas del reloj, y el numero de vueltas que efectúan los miembro se apunta en una tabulación.

3.- El resultado neto de las operación anteriores se debe localizar sumando algebraicamente el número de revolución s que hace cada miembro del tren. El movimiento resultante del engranaje “fijo” siempre es cero; por esto, los desplazamientos angulares de los otros engranes son iguales como si el tren hubiese permanecido epicicloidal. De estos desplazamientos angulares se puede calcular la relación de velocidad del tren.

    Ejemplo 1.-Aplicando los métodos antes mencionado al ten de engranaje epicicloidal de la Fig. 10.7 Obtenemos: (1) el tren es enclavado y todo el mecanismo se gira una revolución en el sentido de las manecillas del reloj, (2) el brazo 4 se traba y el engrane 1 gira una vuelta en sentido contrario al de las manecillas el reloj, o sea en dirección negativa, y el número de vueltas de los otros engranes se anota en la tabulación; (3) el movimiento resultante de los miembros concernientes se encuentran sumando algebraicamente los valores obtenidos en la tabulación para los pasos 1 y 2.

    Esto se ilustra en la tabla 10.1. Entonces, mientras el brazo 4 hace +1 vuelta, el engrane 3 hace +5 vueltas, y la relación ω31/ω41 es igual a +5.

    Ejemplo 2. En las Figuras 10.8 y 10.9 se ilustra un tren epicicloidal compuesto, en el cual el brazo 6, que soporta los engranes 3 y 4, no es el eslabón motriz ni el accionado. El motriz 2 engrana con la rueda 3, que a su vez engrana con la rueda angular estacionaria 1. Los engranes 3 y 4 se encuentran fijos a la flecha que esta sostenida por el brazo 6, el cual se encuentra libre para girar sobre la flecha A. El engrane 4 se encuentra engranado con la rueda angular 5, la cual esta enclavada a la flecha movida B.


     El primer paso para localizar la relación del tren es el de solidarizar el tren y girar todo el mecanismo una vuelta en dirección positiva (en sentido de las manecillas del reloj). El segundo es el de trabar el brazo 6, gira la rueda fija 1, una revulsión en dirección negativa (en sentido contrario de las manecillas del reloj), y tabular los giros efectuados por los otros engranes.

     El tercer paso es el de sumar algebraicamente los movimientos obtenidos en los pasos tomados anteriormente para localizar el movimientos resultante. Esto se efectúa en la tabla número 10.2.

    Por esto, mientras el engrane 2 hace +28/9 vueltas, el engranaje 5 hace +7/45 vueltas. La relación de velocidad
    De ahí que mientras la flecha A hace 20 vueltas la flecha B gira 1 vez la misma dirección. Ejemplo 3. La Fig. 10.10 muestra el arreglo para un tren epicicloidal compuesto recurrente, que da una gran reducción de velocidad desde la flecha motriz A hasta la flecha C. La flecha A mueve el brazo 5, que soporta la flecha B a la cual se encuentran enclavados las ruedas dentadas 2 y 3. La rueda 1 es solidaria. Por lo anterior la rotación A ocasiona que 2 gire sobre 1; mientras que 3 mueve a 4, el cual se encuentra enclavado a la flecha movida C.

    Supongamos que el numero de dientes del los engranes son 1-60 dientes 2-61 dientes, 3-60 dientes, 4-61 dientes. La flecha gira 100 rpm. En sentido de las manecillas del reloj. Localizar la velocidad y la dirección de la rotación de la flecha C.

    Siguiendo el procedimiento usual, primeramente giramos todo el tren 1 vueltas en sentido de las manecillas del reloj (+1). Entonces sostenemos el brazo fijo 5, giramos el engrane fijo 1, una vuelta en dirección opuesta y encontramos el numero de vueltas efectuado por los otros engranes, como lo muestra el paso 2 de la tabla. Finalmente, el movimiento resultante se obtiene en el paso 3 sumando los pasos 1 y 2 algebraicamente, como lo muestra la tabla 10.3.
    De esta se puede observar que , si la flecha A hace 100 rpm en sentido de las manecillas del reloj, C hace 100(121/3721) = 3.25 rpm en la misma dirección.

     Este caso ilustra el método por el cual se puede obtener una gran reducción de velocidad empleando un tren epicicloidal, usando engranes que son mas o menos del mismo tamaño. El tren puede ser de forma compacta.

    Seria instructivo investigar un poco mas este ejemplo cambiando los dos pares de engranes. Entonces el número de dientes en los engranes será: 1-61 dientes, 2-60 dientes, 3-61 dientes, 4-60 dientes. La flecha A gira otra vez 100 rpm en sentido de las manecillas del reloj, y se requiere encontrar la velocidad y dirección del giro de la flecha C. El procedimiento es exactamente el mismo que el anterior y se sumariza en la tabla 10.4.

    De esta se puede observar que, si la flecha A gira a 100 rpm en sentido de las manecillas del reloj, la flecha C gira 100(121/3600) = 3.36 rpm en dirección opuesta.

     Por lo anterior, simplemente cambiando los 2 juegos de engranes, es suficiente para ocasionar que la dirección del giro de la flecha movida se invierta permaneciendo el tamaño del tren y longitud del brazo 5 sin alteraciones.

Trenes epicicloidales que no tienen un engrane fijo

      Ocasionalmente se podrá emplear un tren de engranaje epicicloidal cuando ningún engrane se retiene fijo.
 El ejemplo más común de este caso es el diferencial de un automóvil cuando este se encuentra dando una vuelta; esto será considerado posteriormente.

     El procedimiento en problemas de este tipo es similar al método esbozado anteriormente, exceptuando que en primer paso, en vez de que el tren solidario gire una revolución, este girará tantas revoluciones como las que el brazo efectúe por unidad de tiempo; y en el segundo paso, donde el brazo es enclavado, el engrane cuya velocidad absoluta es conocida, debe girar en la dirección indica el número de veces tal, que sumando las vueltas de todo el tren en el primer paso dé el total algebraico correcto. Posiblemente esto podrá ilustrarse mejor mediante un ejemplo.

      Ejemplo 1.- En la fig 10.11 la flecha A gira 100 rpm en sentido de las manecillas del reloj, moviendo un tren de engranaje epicicloidal, engranando la rueda 2 con la 3 y la 4 con la 5. Debe tomarse en cuanta que los engranes 2 y 4 sobre la flecha A no forman parte del tren epicicloidal, sino que solamente lo mueven. El número de dientes de cada engrane se muestra en la figura. Se desea conocer la dirección del giro y la velocidad de la flecha B.

   La velocidad del engrane 3, o del brazo 7 el cual esta fijo a 3, es 100 X 40/20 = -200 rpm. La velocidad del engrane 5 es 100 X 20/40 = -50 rpm. La tabla 10.5 debe establecerse ahora para hacer la lista de los engranes en el tren epicicloidal.



     Para el paso 1 todo el tren gira a 200 revoluciones en sentido contrario de las manecillas del reloj, la cual es la velocidad y el sentido de rotación del brazo 7. Para el paso 2 el brazo 7 se mantiene fijo y el engrane 5 gira un número de vueltas en la dirección apropiada para que su movimiento resultante sea el que realmente ocurre, o sea –50 rpm. Evidentemente el valor requerido es +150 rpm. Con el brazo 7 fijo, y girando el engrane 5 a +150 revoluciones, las revolución de los otros engranes se pueden localizar y apuntar. En el paso 3, se calcula el movimiento resultante mediante una suma algebraica y se encuentra que el engrane 9, o sea la flecha B, gira –176 rpm, esto es, en sentido contrario a las manecillas del reloj.

    Ejemplo 2. La fig. 10.12 muestra el diagrama esquemático de un diferencial de automóvil. La potencia se recibe a través de la flecha motriz desde el motor por medio de la transmisión y es retransmitida a través de los engranes cónicos 2 y 3. Sobre el engrane 3 se encuentran unos pernos que soportan los engranes cónicos y 4 y 4´ los cuales engranan con las ruedas 5 y 6. Los engranes 5 y 6 se encuentran enclavados a los ejes a los cuales también se encuentran fijas las ruedas.

     Cuando el automóvil esta viajando sobre un camino recto, el diferencial gira “punta sobre punta” esto es, no hay movimiento relativo entre los engranes 4 o 4´ y los engranes 5 y 6 . De cualquier forma, cuando el automóvil recorre una curva una rueda y su eje debe correr más despacio y la otra mas aprisa para prevenir el deslizamiento de la llanta sobre el camino. Esto ocasiona un movimiento relativo de los piñones en el tren epicicloidal del cual 3 es el brazo, y los otros engranes son 4 o 4´, 5 y 6 . Suponiendo que en un camino recto cada eje gira a 100 rpm, pero en una curva la velocidad de la rueda derecha se reduce a 50 rpm. ¿cuál será la velocidad del eje izquierdo, tomando en cuanta que la velocidad de la flecha motriz permanece sin cambio?

     Siguiendo el método descrito anteriormente (véase tabla 10.6), sabemos que la velocidad de la corona o brazo 3 es +100 rpm. Por consiguiente, en el paso 1 giramos el tren + 100 revoluciones. En el paso 2 la corona o brazo 3, se mantiene fijo y el piñón 6 se gira un numero de vueltas en la dirección adecuada para que su movimiento resultante sea el que realmente ocurre, o sea +50 rpm. Este valor es –50 vueltas manteniendo la corona 3 fija y girando el piñón 6, -50 vueltas; aparentemente el piñón 5 girará + 50 vueltas.

      Esto es ciertoen vista de que los piñones 5 y 6 son del mismo tamaño y los piñones 4 y 4´ actúan simplemente como intermedios o locos. Después de anotar los valores en la tabla, se encuentra el movimiento resultante en el paso 3.

    Debe observarse que la velocidad de una rueda se incrementa la misma cantidad que la otra se reduce. Si la parte posterior se levanta y una de las ruedas se mantiene fija, la otra girara el doble.

    Esta situación ocurre frecuentemente en el invierno, cuando una rueda del automóvil reposa sobre el hielo el cual tiene un bajo coeficiente de fricción y la otra reposa sobre el camino seco que tiene un alto coeficiente de fricción. En estos casos el automóvil debe empujarse para que salga de esta condición antes de poder conducirlo normalmente.

 Aplicaciones de trenes de engranaje epicicloidales

      No obstante que los trenes de engranajes epicicloidales tienen la particularidad de ser ruidosos, se amplían en diferenciales de automóvil, en motores eléctricos con reductor integral de engranes, polipastos ( Fig. 10.13) y alguno reductores de velocidad (Fig.10.14)

     La fig. 10.13 muestra una aplicación de un tren de engranaje epicicloidal compuesto recurrente, en un polipasto. El aparato se opera por medio de una cadena manual a la derecha, al cual accionada la estrella, esta tienen un diámetro relativamente grande. La estrella esta conectada a una flecha que transmite el movimiento al tren de engranaje en la izquierda. Este tren es epicicloidal y contienen un engrane interno fijo; además tiene como miembro accionado un bastidor que soporta los pequeños piñones giratorios. Este bastidor se encuentra unido sólidamente a una camisa, la cual también sostiene la estrella que acciona la cadena donde esta montado la grúa en el centro del polipasto. Un embrague automático en el lado derecho de la caja sostiene la carga hasta que la cadena manual es jalada hacia abajo.


    Haciendo una elección apropiada del diámetro de la estrella y del tamaño de los engranes, se puede diseñar el aparato con cualquier relación de velocidad deseada para la grúa y la cadena manual. Si no consideramos las pérdidas por fricción , la relación de la tracción de la cadena de carga a la tracción de la cadena manual, es la recíproca de su relación de velocidad, en vista de que el trabajo efectuado por ambos es el mismos.

     Cuando se requiere una reducción en la relación de revoluciones entre el elemento motriz o y el accionado de una máquina, por ejemplo, cuando se emplea un motor eléctrico para mover una máquina a baja velocidad, comúnmente se usa un reductor de velocidad del tipo epicicloidal, parecido al mostrado en la Fig. 10.14, como sustituto para bandas, cadenas, o engranes expuestos. Un engrane interno o anular es el miembro fijo.






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