miércoles, 11 de agosto de 2010

VELOCIDAD Y ACELERACION

    Debido a que el movimiento es inherente a las máquinas, las cantidades cinemáticas como la velocidad y la aceleración son de importancia para la ingeniero en el análisis y diseño de los componentes de las máquinas.

    Los valores cinemáticos en las máquinas han alcanzado magnitudes extraordinarias. Las velocidades de rotación, que una vez se consideraron altas a un valor de 10 000 rpm, ahora se aproximan a 100 000.0 rpm.

    Los grandes rotores de los motores a chorro trabajan a velocidades de 10 000 a 15 000 rpm, y las
ruedas de turbinas pequeñas giran a una velocidad de 30 000 a 60 000 rpm.

    El tamaño de los rotores y su velocidad de rotación se relacionan en tal forma que a menor tamaño mayor será la velocidad de rotación permitida. Una cantidad más básica en los rotores es la velocidad periférica, la cual depende de la velocidad de rotación y el tamaño (V = ωR). Las velocidades periféricas en las turbomáquinas están llegando a valores de 50 000 a 100 000 pies/min. Las velocidades periféricas en las armaduras eléctricas (10 000 pies/min) y en los cigüeñales automotrices (3 000 pie/min) son más bajas que en los rotores aeronáuticos.

    Aunque las velocidades de los rotores o de las manivelas de los mecanismos de eslabones articulados son bajas, la tendencia es hacia mayores velocidades debido a la demanda de mayores tasas de productividad en las máquinas que se emplean para impresión, fabricación de papel, hilado, computación automática, empaque, embotellado, maquinado automático y muchas otras aplicaciones.

    La aceleración centrípeta en la periferia de un rotor depende del cuadrado de la velocidad de rotación y del tamaño (An = (ω2R). En las turbinas, dichas aceleraciones se están aproximando a valores de 1 a 3 millones de pies/s2 o sea aproximadamente de 30 000g a 100,000g, valores que pueden compararse con la aceleración de 10g que soportan los pilotos de aviones, o de 1000g que soportan los pistones automotrices.

    La aceleración se relaciona con la fuerza (MA), por el principio de Newton y se relaciona a su vez con el esfuerzo y la deformación, que pueden o no ser críticos en una pieza de una máquina, dependiendo de los materiales empleados. La velocidad de una máquina está limitada en última instancia por las propiedades de los materiales de que está formada y las condiciones que influyen en las propiedades de los materiales empleados.

    Las altas temperaturas que se dan por la compresión de los gases y la combustión de los combustibles, junto con las que se dan como resultado de la fricción, son una condición que influye en la resistencia de los materiales de las máquinas de potencia de alta velocidad. El grado en que se eleva la temperatura también depende de las medidas que se tomen para la transferencia de calor mediante refrigerantes como aire, aceite, agua o Freon.

    El buen diseño de una máquina depende de la explotación del conocimiento en los campos de la dinámica, el análisis de esfuerzos, la termodinámica, la transmisión de calor y las propiedades de los materiales.

    Sin embargo, el propósito de este capítulo es estudiar solamente las relaciones cinemáticas en las máquinas.

    Para los cuerpos que giran alrededor de un eje fijo, como el caso de los rotores, los valores cinemáticos se determinan rápidamente a partir de formulas elementales bastante conocidas ( V = ωR, An = ω2R, At = αR ).

    Sin embargo los mecanismos como el corredera-biela-manivela y sus inversiones son combinaciones de eslabones que constan no solamente de un rotor sino también de miembros oscilatorios y reciprocantes.

    Debido a las velocidades y aceleraciones relativas entre los diferentes miembros. Junto con las muchas posiciones relativas geométricas que se pueden dar, el análisis cinemático de un mecanismo de estabones articulados es relativamente complejo comparado con el de un rotor.

    Los principios y métodos que se ilustran en este capítulo son principalmente los que se emplean para el análisis de mecanismos de eslabones articulados compuestos de combinaciones de rotores, barras, correderas, levas, engranes y elementos rodantes.

    En las exposiciones siguientes se supone que los eslabones individuales de un mecanismo son cuerpos rígidos en que las distancias entre dos partículas dadas de un eslabón móvil, permanecen fijas. Los eslabones que sufren deformaciones durante el movimiento, como los resortes, caen dentro de otra categoría y se analizan como miembros vibratorios.

    La mayoría de los mecanismos elementales se encuentran en movimiento plano o se pueden analizar como tales. Los mecanismos en los que todas las partículas se mueven en planos paralelos se dice que están en movimiento plano o coplanarios.

    El movimiento de un eslabón se expresa en términos de los desplazamientos lineales y las aceleraciones lineales de las partículas individuales que constituyen el eslabón. Sin embargo, el movimiento de un eslabón también puede expresarse en términos de los desplazamientos angulares, las velocidades angulares y las aceleraciones angulares de líneas que se mueven con el eslabón rígido.

     Existen muchos métodos para determinar las velocidades y aceleraciones en los mecanismos, los que se emplean comúnmente son:

  a) análisis de velocidad por centros instantáneos;

  b) análisis de velocidad por método de resolución

  c) análisis mediante el empleo de ecuaciones de movimiento relativo que se resuelven ya sea
analítica o gráficamente por medio de polígonos de velocidad y aceleración (método de
imagen);

  d) análisis mediante el empleo de matemáticas vectoriales para expresar la velocidad y
aceleración de un punto con respecto de un sistema fijo o un sistema móvil de
coordenadas;

  e) análisis mediante ecuaciones vectoriales de cierre de circuito escritas en forma compleja.

    De los métodos mencionados, el primero, el segundo y el tercero, mantienen el aspecto físico del problema. El quinto método que hace uso de vectores en forma compleja, tiende a hacerse demasiado mecánico en su operación a tal grado que los aspectos físicos se pierden rápidamente. Sin embargo se debe mencionar que el cuarto y quinto método se presentan para soluciones por computadora, lo cual es una ventaja decisiva si un mecanismo se va ha analizar durante un ciclo completo. Particularmente en este capítulo se analizaran los tres primeros métodos.

   Velocidades de los centros instantáneos

    Cuando un cuerpo gira alrededor de un centro, la velocidad de cualquier punto en él será en una dirección perpendicular al radio y su magnitud es proporcional al radio de esta forma en la Fig. 5.1 donde el cuerpo 2 esta articulando al cuerpo 1, la velocidad del punto P es perpendicular al radio rp y tiene una magnitud vp = ω2/1 rp. Similarmente a la velocidad del punto Q es perpendicular al radio rQ y tienen una magnitud vQ =ω2/1 rQ dividiendo estas dos ecuaciones se produce:

vQ / vp = rQ / rp o vQ = vp (rQ / rp )
    Cuando la velocidad de una punto sobres un cuerpo es conocida y representados por un vector, muy frecuentemente se desea encontrar gráficamente la velocidad de otro punto sobre el mismo cuerpo, en la fig. 5.1 tómese en cuenta que la velocidad del punto P es conocida y representada por el vector vp se desea encontrar la velocidad del punto Q. Con O como centro y con el radio OP, o rp, se traza un arco cortando OQ, alargado, si el necesario, hasta S. Como S y P están a la misma distancia del centro de rotación, sus velocidades son de igual magnitud, pero de dirección diferente. El vector ST, trazando perpendicular a OS, se iguala a la longitud del vector Vp. Este es marcado V´p, ya que representa la magnitud de la velocidad de P, pero no en su dirección correcta, trazando la línea OT y el vector QW perpendicular a OQ o rQ obtenemos los triángulos semejantes OQW y OST.

De donde:
    Que comparada con la ecuación 5.1, QW representa la velocidad del punto Q en la misma  magnitud que ST representa la velocidad del punto P.

   El mismo resultado podría obtenerse girando el punto Q alrededor del centro O hasta el punto X en la línea Op (fig. 5.2) trazando la linea OY, y el vector XZ perpendicular a Op o rp, obtenemos otra vez dos triángulos semejantes. Consecuentemente, XZ representan la magnitud de la velocidad del punto Q a la misma escala que PY representa la velocidad del punto P. El vector XZ es marcado V´Q ya que es la magnitud Vq, pero no su dirección correcta. Girando este vector alrededor de O hasta el punto Q, obtenemos la velocidad VQ, ya que se han considerado solamente condiciones instantáneas, esta construcción grafica es aplicable cuando el punto sobre el que gira el cuerpo es un centro instantáneos o un centro permanente.

    Puntos en diferentes eslabones.

    Muy frecuentemente es necesario encontrar la velocidad de un punto en un determinado eslabón de un mecanismo, a partir de la velocidad de otro punto localizado en un diferente eslabón. Comúnmente se dispone de varios métodos y cada uno de ellos tiene sus ventajas para casos particulares, es muy aconsejable que el estudiante entienda los principios de cada uno de estos métodos , para que utilice el que mas le convenga para un problema en particular, o bien emplee un método para comprobar el otro. Algunos problemas se resuelven mejor combinando estos métodos.

    Antes de esbozar los métodos, resulta conveniente clasificar alguno de los centros instantáneos como centros de pivoteo. Estos son los centros relacionados al eslabón fijo 1 y por lo tanto tienen su numero en su subscripto. De esta manera, en la fig. 5.3 los centros de pivoteo son O12
O13 y O 14.

   a) Método de eslabón –a – eslabón.

    Este es un método de paso por paso, por medio del cual comenzamos con el eslabón donde esta localizado el punto con la velocidad conocida, y derivamos a través de su centro instantáneo con respecto a un eslabón conectado y después continuamos con el eslabón conectado a su centro instantáneos con respecto al siguiente eslabón. Continuando de esta manera, llegamos finalmente al eslabón que contiene el punto cuya velocidad es requerida. En general, es necesario empezar localizando todos los centros de pivoteo y los centros instantáneos de cada eslabón con respecto a su eslabón adjunto.

    Para ilustrar el método consideraremos el cuadrilátero articulado de la fig. 5.3 en el cual el eslabón 1 es fijo. Supondremos que la velocidad del punto Q en el eslabón 1 es la requerida. En este ejemplo los eslabones 2 y 4 están conectados por el eslabón 3, y trabajaremos a través de este ultimo desde el 2 al 4.

    Primeramente localizamos los centros instantáneos O21 O25, O31 O34 y O41, como se ilustra en la figura.

     La velocidad del punto P es conocida y representada por el vector Vp, perpendicular a una línea desde P al centro de pivoteo O21, considerando los dos puntos P y O23 como puntos en el eslabón 2, trazamos la construcción ( según el art. 5.1) mostrada y por triángulos semejantes a y b encontramos el vector de velocidad Vo23 para el punto O23.

   Por definición de un centro instantáneos, O23 es un punto en el eslabón 3, así como también en el eslabón 2, Siendo un punto en el eslabón 3 gira sobre el centro de pivoteo O31; igualmente como es un punto en el eslabón 2 gira sobre el centro de pivoteo O21. Por lo tanto el vector de velocidad V023 es trasportando (arco c) girando sobre el centro de pivoteo O31 a una línea que pasa sobre O31 y O34. Considerando la posición de O23 girada y el centro O34 como punto en el eslabón 3, efectuamos la construcción (según Art. 5.1) mostrada según los triángulos d y e; empleando O31 como el centro de pivoteo para encontrar el vector de velocidad Vo34 para el punto O34 . Ahora O34 y Q, son putnos en el eslabón 4, que giran sobre el centro de pivoteo O41 .

    De ahí que Vo34 se puede trasporta sobre este centro de pivoteo a la línea O41Q (arco f)

    Dibujando los triángulos semejantes g y h, encontramos el vector de velocidad VQ que representa la velocidad requerida para el punto Q. Dicho vector es perpendicular a un línea desde Q hasta el centro de pivoteo O41.

    De esta descripción es evidente que : el giro de cualquier eslabón relativo al eslabón fijo ocurre alrededor del centro de pivoteo que contiene el número de ese eslabón y el del eslabón fijo. La velocidad absoluta de cualquier punto sobre un eslabón, es en una dirección perpendicular a una línea desde el punto hasta el centro de pivoteo de ese eslabón, y el vértice del triángulo semejante, según la construcción del art. 5.1 siempre es el centro de pivoteo del eslabón considerado.

    En este ejemplo los tres eslabones 2, 3 y 4 están conectados por pernos articulados. Las conexiones entre estos eslabones pueden, no obstante, ser de cualquier forma, y el método se pude aplicar en cualquier mecanismo, siempre que los centros instantáneos requeridos están accesibles.

    b) Método directo.

    Cuando un mecanismo tiene muchos eslabones, el método eslabón-eslabón resulta ser muy fastidioso. Muy frecuentemente se puede emplear el método directo para reducir el trabajo que se requiere en tales casos. Tal como lo implica el nombre, vamos directamente desde el eslabón que contiene la velocidad conocida, hasta el eslabón que tiene el punto cuya velocidad es larequerida. Esto puede efectuarse encontrando la velocidad del centro instantáneo que contiene en su subscrito los números de los dos eslabones en cuestión, ya que en este punto los dos eslabones tienen una velocidad común. Por lo tanto solamente se necesitan localizar tres centros instantáneos . Si el eslabón fijo es 1 y los dos eslabones en cuestión son m y n, los centros que deben localizarse son Omn Oml y Onl. Los últimos dos centros son los centros de pivoteo, y los principios del método eslabón-a-eslabón, con referencia a la construcción, se aplica igualmente aquí.

    Por lo anterior, en la Fig. 5.4, que es el mismo cuadrilátero articulado empleado en el ejemplo anterior, la velocidad del punto P en el eslabón 2 es conocida, y se requiere encontrar la velocidad del punto Q en el eslabón 4. Por lo tanto localizamos el centro común O24 y los dos centros de pivoteo O21 y O41.

    Los puntos P y O24 son dos puntos sobre el eslabón 2 y por eso giran alrededor del centro de pivoteo O21. Como la velocidad de P es conocida, la velocidad de O24 se puede localizar gráficamente por el método del Art. 5.1 y se designa Vo24 . Como el eslabón 2 pivotea alrededor de O21 se traza el triángulo a con un cateto que representa Vp. El triangulo b semejante a a, tendrá un cateto correspondiente representado, como se ha indicado, la velocidad de O24. Por ser un punto en el eslabón 4, O24 tienen la misma velocidad Vo24: por tanto conocemos la velocidad de un punto en 4 podemos encontrar la velocidad de cualquier otro punto, tal como Q. Puesto que el eslabón 4 gira alrededor de O41, construimos el triángulo c, y después el triangulo semejante d. Este vector es girando alrededor de O41 hasta el punto Q, donde se hace perpendicular a un a línea desde Q hasta el centro del pivoteo O41. En esta posición el vector representa la velocidad de Q en magnitud y dirección.

    La construcción se puede aplicar a cualquier forma de mecanismo siempre y cuando esté disponible el centro instantáneo común a los dos eslabones en los cuales se localizan los puntos; cuando este punto no es accesible se debe emplear algún otro método. En algunos casos la localización de este centro requiere mucho trabajo, y se puede facilitar empleando otro método. Hay que tomar en cuanta que, si uno de los centros de pivoteo se localizan hasta el infinito, todos los puntos en ese eslabón tendrán la misma velocidad en magnitud y dirección. Entonces, si se encuentra la velocidad del centro común y el centro de pivoteo del eslabón del cual se desea conocer la velocidad está en el infinito, no es posible, o necesario, trazar arcos, ya que la velocidad del punto es la misma que la del centro común en magnitud y dirección.

    Velocidades lineales por resolución

    Si la magnitud y dirección del movimiento de un punto en un cuerpo en movimiento, y la dirección del movimiento de un segundo punto en el mismo cuerpo son conocidas la magnitud de la velocidad del segundo punto se puede determinar por resolución. Este método depende del hacho que la distancia entre los dos puntos es constante si el cuerpo es rígido.


    Sean P y Q (Fig. 5.5) dos puntos en el cuerpo 2 en movimiento con respecto al cuerpo 1. La velocidad de P esta indicada en magnitud y dirección por el vector Vp, en el instante considerado. El punto Q tienen movimiento en la dirección QA en el mismo instante . La dirección PQ es constante, y también los componentes de las velocidades en una dirección paralela a PQ deben de ser iguales; de otro manera la distancia entre ellos se aumentaría o se disminuiría. Trazando el triángulo a encontramos el vector V1, la componente paralela a PQ. Ahora podemos trazar el triángulo b, ya que el vector V´1, representa la componente de la velocidad de Q´ paralela a PQ, y es iguala V1; también un cateto es perpendicular a PQ y el tercero coincide sobre QA. El cateto mencionado últimamente es VQ, y representa la velocidad de Q.

    Al dibujar las componentes de una resultante, siempre deben trazarse paralelas y perpendiculares al eslabón, o a una línea proyectada sobre los extremos de los eslabones, pero nunca perpendiculares a la resultante. Si no se trazan perpendiculares hacia el eslabón, estas componentes tendrán otra componente de ellas mismas a lo largo del eslabón, lo cual no destruye el principio en que está basado el método.

    El método por resolución no podrá aplicarse cuando dos puntos coinciden sobre una línea radial de un eslabón que tiene rotación pura. En casos tales no hay componentes de movimiento sobre esta. En este tipo de situación debemos acudir al procedimiento esbozado en el Art. 5.1. Trabajando de punto a punto a través de los eslabones conexos, el método por resolución se puede emplear en muchos casos para localizar la velocidad de cualquier punto en un mecanismo cuando la velocidad de un punto, no necesariamente en el mismo eslabón es conocida.

    La aplicación de este método se podría describir empleando el mismo mecanismo usado anteriormente, como se muestra en la Fig. 5.6. La velocidad del punto P es conocida y la velocidad del punto Q es la requerida. Como el unto P y el centro instantáneo O23 coinciden en una línea radial, no se puede emplear el método por resolución para encontrar la vo23, y debemos emplear la construcción de triángulos semejantes del Art. 5.1 La velocidad de O23 queda ahora, completamente establecida, pero solamente conocemos la dirección de la velocidad resultante de O34(perpendicular al eslabón 4, o a O34 O41). La velocidad del punto O23 se puede dividir en dos componentes: una perpendicular al eslabón 3 y la otra a lo largo de éste. Esta última es marcada V1. Esta componente debe ser la misma en el extremo derecho, en otra forma el eslabón 3 se alargaría o comprimiría. De allí que V´1, igual en longitud a V1, se traza desde O34 hasta una perpendicular al eslabón 4 o a O34 O41, determina el final del vector Vo34.

    Como O34 y el punto Q no coinciden en una línea radial desde el punto de rotación del eslabón 4, el método por resolución pude ampliarse otra vez para encontrar la velocidad de Q. Una línea desde O34 hasta Q siempre es igual en longitud ya que el eslabón 4 se considera como si fuera rígido. Por lo tanto Vo34 se puede dividir entre dos componentes: una perpendicular a la línea O34Q y la otra a lo largo. La componente sobre esta línea desde Q hasta el centro de pivoteo O41.

   Por esto la punta del vector VQ coincide en la intersección de una línea perpendicular a O34Q en la punta de la componente V´2, y es perpendicular a QO41. Un segundo ejemplo del uso del método de resolución se da en la Fig. 5.7 que ilustra un mecanismo compuesto comúnmente empleado en las limadoras, como un método para mover el émbolo macho que lleva la herramienta para cortar. La inclinación del eslabón 5 se ha exagerado para ilustrar con mayor claridad esta construcción. Supondremos que la velocidad del punto P en la manivela motriz 2 es conocida, y que la velocidad del punto Q en el émbolo 6 es la requerida.

     El punto P en el eslabón 2 y un punto coincidente P´ en el eslabón 4 deben tener la misma velocidad normal hacia la línea en la corredera de 3 sobre 4. Si este no fuera el caso, P se saldría de la línea RO41; esto es imposible, debido al efecto de rigidez del par en deslizamiento. Si VP se resuelve entre dos componentes paralelos y normales a RO41 trazando el triangulo a , entonces la componente normal representa V´P, la velocidad del punto P´ en 4, y la otra componente el paso al cual el eslabón 3 desliza sobre el eslabón 4. P´ y R son dos punto en el eslabón 4 que giran alrededor de O41. Usando las construcciones graficas enunciadas en el Art. 5.1 e ilustradas por los triángulos b y c; encontramos el vector VR que representa la velocidad de R. El método por resolución no se puede emplear aquí, porque
V´P tienen una componente igual a cero sobre RO41.

    Finalmente, R y Q son puntos sobre el eslabón 5, y por lo anterior tienen iguales componentes de velocidad sobre 5. El método por resolución requiere la construcción de los triángulos d y e además fija la distancia del vector VQ, la cual representa la velocidad de Q.

    Velocidades angulares

     Cuando dos cuerpos se encuentra en moviendo, se puede demostrar que sus velocidades angulares instantáneas con respecto aun tercer cuerpo, son inversamente proporcionales a la distancias desde su centro instantáneo común, a los centros instantáneos sobre los cuales están pivoteando en el tercer cuerpo. De este modo, en la Fig. 5.8, 2 y 3 son dos cuerpos en movimiento con respecto a 1. Los tres centros instantáneos O21O23 y O31 se consideran localizados como queda ilustrado con el teorema de Kennedy. O23 es un punto común para 2 y 3. Como es un punto 2, su velocidad lineal instantánea es igual a ω2/1(O23O21). Como es también un punto en 3, se está movimiento con una velocidad lineal ω3/1(O23O31). Por lo consiguiente,



    Cuando un de estas velocidades angulares en conocida, la otra puede determinarse gráficamente. La construcción queda indicada en la Fig. 5.8. Supongamos que ω2/1 es conocida y que ω3/1 se tienen que determinar. Tracemos O31L perpendicular (o a cualquier ángulo conveniente) a O31 O21 con una longitud que represente a ω2/1. Unamos LO23 y alarguemos esta líneas hasta encontrar O21M, paralela a O31L. Por triángulos semejantes,

   Por lo tanto, O21M representa a ω3/1 a la misma escala que O31L representa a ω2/1. Cuando O23 cae entre O21 y O31 los cuerpo 2 y 3 giran en sentidos opuestos; pero cuando cae en la misma extensión de O21 O31, hace que los cuerpos 2 y 3 giren en el mismo sentido.

    Ejemplo. Las fig. 5.9 muestran el mismo mecanismo de manivela, biela y corredora en dos posiciones. En cada caso, considerando que la velocidad angular de la manivela 2(ω2/1) es conocida, encontrar gráficamente la velocidad angular del eslabón 4(ω4/1).

    Construcción. Encuentren los tres centro instantáneos de los eslabones 1, 2 y 4. Estos centros coinciden sobre una misma línea recta según el teorema de Kennedy. Dibujemos el triángulo LO41O24 en el cual O41L, perpendicular a O41O24, representa la velocidad angular conocida ω4/1 requerida.

   Método de imagen

    Consideraremos ahora un método gráfico para determinar las velocidades y aceleraciones de puntos en los mecanismos, el cual ha probado tener una aplicación muy amplia y una importancia práctica muy considerable. Este método generalmente conocido como el “método de imagen”, esta descrito en Kinematik del profesor Burnester. La construcción en un diagrama de aceleración, comúnmente requiere la determinación anterior de cierta velocidades; por esto discutiremos en primer lugar este último problema.

 La imagen de velocidad

    Si hay dos puntos A y B sobre un cuerpo con movimiento coplanario, entonces la velocidad absoluta de B es igual a la suma vectorial de la velocidad absoluta de A y la velocidad relativa de B con respecto a A. El método “imagen de velocidad” esta basado en lo anteriormente establecido. Expresado vectorialmente :

VB = VA + VB/A

    Consideremos un eslabón como el ilustrado en la Fig 5.11a, pivoteando en O y conteniendo tres puntos A, B y C y girando en el sentido de la manecillas del reloj, con una velocidad angular ω.

    La velocidad del punto A es conocida y enunciada por el vector VA. Se desea conocer la velocidad de los puntos B y C . Esto, desde luego , puede efectuarse según el método del Art. 5.1, pero esta discusión está basada en el principio esbozado en el párrafo anterior.

    Mientras el eslabón gira, el punto B gira alrededor del punto A Con la misma velocidad angular (en ambas magnitud y dirección ) mientras A gira alrededor del pivote O. Esto se ilustra en la fig. 5.11b donde el eslabón es trasladado a través de 90° en relación a su posición en la fig. 5.11a.

    Debe tomarse en cuenta que B ahora esta debajo de A mas bien que su propia derecha, en otras palabras, ha girado alrededor de A a través del mismo ángulo que A ha girado alrededor de O.

    Esto se puede aclarar marcando las letra en un pedazo de papel el cual representa el eslabón y pivoteándolo entre los dedos en el punto O. Para la posición ilustrada en la Fig. 5.11a, la velocidad del punto B relativa al punto A está en un dirección vertical.

    Empleando este hecho y los principios básicos establecidos arriba podemos trazar el diagrama de imagen de velocidad, ilustrado en la fig. 5.11c. Las líneas sobre este diagrama están enumeradas en el mismo orden en que fueron trazadas. Una tabla explicativa indica la dirección de las líneas y lo que estas representa, se muestra en la fig. 5.11d. Del punto considerado o “polo” o, trazamos la línea oa perpendicular a OA, representando VA(igual a ωOA) a cualquier escala de velocidad conveniente . La velocidad relativa de B hacia A (VB/A), actúa en un dirección perpendicular a AB. La velocidad absoluta tiene una dirección perpendicular a una línea desde B hasta O. De ahí , desde el polo o , tracemos la línea 3 perpendicular a la línea OB de la Fig. 5.11a. Esta encuentra la línea 2 en el punto b, y ob representa la velocidad absoluta del punto B en la misma escala que oa representa la velocidad del punto A. También, ab, o la línea 2 en la fig. 5.11c, representa a la misma escala la velocidad del punto B relativo al punto A . Nótese que ba es la velocidad del punto A relativo al punto B; en otras palabras, tienen la misma magnitud pero en dirección opuesta.

    Si el proceso se continúa por el trazo de la líneas 4,5 y 5 como fue esbozado en la tabulación (fig. 5.11d) encontramos todas las velocidades absolutas y relativas. Se debe observar que solamente es necesario calcular o conocer una velocidad, y el resto se determina por la dirección de varias líneas. Esto es cierto, ya que la velocidad angular del eslabón es la misma para todos los puntos alrededor de unos de otros, como se ha mostrado arriba. También debe notarse que el diagrama es geométricamente similar al eslabón original, pero girado en la dirección de rotación a través de 90°. Por lo tanto, si el eslabón original es girado 90° y la escala de velocidad se elige el eslabón original es girado 90°, y la escala de velocidad se elige en forma adecuada, automáticamente tenemos el diagrama de velocidad.

     Debe notarse que cualquier línea que se origina en el polo o es una velocidad absoluta (es decir, relativa al eslabón fijo), mientras las líneas entre los otros dos puntos representan la velocidad de uno de estos punto relativos al otro. Ejemplo. En la cadena cuadrangular de la Fig. 5.12a, el eslabón AB gira con una velocidad angular constante ω2/1. Se requiere encontrar las velocidades absolutas de los puntos B, C y E en el  adjunto. La velocidad del punto B se puede calcular, ya que es igual a ω2/1 AB.

   Además actúa en una dirección perpendicular a AB. Esta velocidad la trazamos a alguna escala conveniente como la línea 1 del polo o en la fig. 5.12b. el movimiento del punto C relativo a B es un una dirección perpendicular a BC; por eso desde b, trazamos la línea 2 en esa dirección.

    La velocidad absoluta del punto C es una normal al eslabón CD; entonces trazamos la línea 3 desde el polo o perpendicular a CD para intersectar la línea 2 en c. De esta forma la línea 3 o sea oc, es la velocidad absoluta del punto C, de donde la línea 2, o sea bc, es la velocidad del punto C relativo al punto B.

    La velocidad del punto E relativo a C es perpendicular a una línea CE y se traza desde el punto c (línea 4), mientras que la velocidad del punto E relativa a B es perpendicular a una línea BE y es proyectada desde el punto b (línea 5), la intersección de las líneas 4 y 5 localiza el punto e. Una línea desde o hasta e nos da la velocidad absoluta del punto E (línea 6). La dirección de la velocidad del punto E se puede cotejar localizando el centro instantáneo O31.

    La línea 6 debe de ser perpendicular a una línea desde su centro hasta el punto E. Los número en las líneas de la imagen indican el orden en que fueron trazadas, y la tabulación da su dirección y significado.

Imagen de aceleraciones

    Esta basada en el mismo principio general referente a las aceleraciones y su construcción es similar a la de las imágenes de velocidad antes mencionadas. Se puede establecer como sigue:

   Para dos untos A y B en un cuerpo con movimiento coplanario, la aceleración absoluta de B es igual a la suma vectorial de la aceleración absoluta de A y la aceleración de B relativa a A. Expresado vectorialmente:

aB = aA + aB/A
   El punto P (Fig. 5.13) sobre un cuerpo en movimiento alrededor del centro instantáneo O, está sujeto a una aceleración tangencial at que actúa tangencialmente al movimiento y una aceleración normal an que actúa hacia el centro de curvatura, de donde siendo ω y α respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular del punto P. La distancia PB representa la aceleración a y es igual a la suma vectorial at y an.

    Si el punto O es un punto fijo, entonces PB es la aceleración absoluta del punto P. Si, de cualquier forma, los dos P y O están en movimiento, entonces PB es la aceleración relativa de P con respecto a O. En la fig 5.14a, que es semejante a la Fig. 5.11a, excepto en que el punto C se ha omitido, A y B son dos puntos en un cuerpo que tienen velocidad angular ω conocida y aceleración angular α y además está pivoteando en el punto fijo O. Se desea encontrar la aceleración absoluta de los puntos A y B.

   Calculamos el valor de ω2OA, la aceleración normal del punto A y desde el polo supuesto o´ trazamos la línea 1´o sea o´a´1, paralela a OA que representa esta aceleración a alguna escala conveniente de aceleración.

    Entonces calculamos el valor de αOA, la aceleración tangencial de A; y desde a´1 trazamos la línea a´1a´, o sea la línea 2´, perpendicular a AO que representa esta aceleración. Unimos o´ y a´ para obtener la línea 3´. Entonces o´a´ representa la aceleración total y absoluta del punto A.

   La aceleración relativa del punto B hacia el punto A debe de localizarse en seguida. Para esto se requiere el cálculo de la aceleración normal (ω2AB) y tangencial (αAB). Empezando desde a´ trazamos las líneas 4´ y 5´, o sean a´b1 y b´1b´ paralela y perpendicular BA respectivamente. Si el punto b´ se une con el polo o´ la línea o´b´, o sea la línea 7´, representa la aceleración absoluta del punto B. La línea 6´ trazada desde a´ hasta b´ representa la aceleración total relativa del punto B con relación al punto A. Una tabulación, semejante a la empleada para la imagen de velocidad, se ilustra en la fig. 53.14c para ayudarnos a visualizar el procedimiento.

    Si consideramos únicamente las línea sólidas 3´, 6´ y 7 ´, se distinguen dos factores. El primero es que la imagen de aceleración es semejante a la imagen de velocidad, ya que estas líneas corresponden a las líneas 1,2 y 3 de la fig. 5.11c y clarifican lo establecido al principio de este artículo, el segundo es que el triangulo formado por estas líneas es similar a aquel formado por os puntos OAB en la Fig. 5.14a. Este se encuentra girando hacia enfrente en la dirección de la velocidad angular, a través de un ángulo de (90 + tan-1ω2/α). El hecho de que las dos figuras sean semejantes es la base para emplear el término”imagen” en el nombre de la construcción y que se pueden emplear para cotejar.

    En la construcción del diagrama de aceleración se debe tener cuidado de asegurarnos que el vector de la aceleración normal para cada punto sea trazado en una dirección hacia el otro punto al cual se refiere la aceleración y no separándose de él. Le línea de aceleración tangencial se debe trazar en la dirección opuesta a aquella de la velocidad del punto si la aceleración angular es de carácter negativo, esto es, cuando la velocidad angular va decreciendo. Entonces, en la fig. 5.14 si α es negativa o en sentido opuesto a ω entonces a´1a´ se debe dibujar en una dirección inversa a la mostrada en la figura.

    Construcción gráfica de la aceleración normal

    Cuando la velocidad de un punto relativa a un segundo punto en un mismo cuerpo es conocida, y también su distancia al otro punto, entonces la aceleración normal relativa se puede encontrar gráficamente.

    En la fig. 5.15, sea AO la distancia (S) entre los puntos A y O a una escala de 1 cm = k m. También permitámonos que AB a 90° con AO representen la velocidad (VA/O) a una escala de 1 cm = m m/seg de este modo S = kAO m y VA/O = mAB m/seg, donde AO y AB son unidades en cm. Ahora la aceleración relativa normal de A hacia O es
    En la fig. 5.14 trazamos BC perpendicular a BO, encontrando OA y alargándola hasta C. Por los triangulo semejantes CAB y BAO.

    La aceleración normal de A es por lo tanto igual a (m2/k)CA. En otras palabras CA representa la aceleración a una escala de 1 cm = n m/seg2 de donde n = m2/k o sea m = √ kn . Ejemplo 1. en el mecanismo de corredera, biela y manivela de la fig. 5.15 a la velocidad angular de la manivela AB es constante e igual a ω. Encontrar la aceleración de los tres puntos B, C y D en la biela.

    Consideramos primero el diagrama de velocidad, puesto que se necesita en la construcción del
diagrama e aceleración.
 
    Para que sea posible encontrar las aceleraciones normales por el método gráfico acabado de esbozar, la escala para el diagrama de velocidad deberá ser 1 cm = √kn unidades de velocidad. Figura 5.15 Ejemplo 1. Mecanismo de corredera, biela y manivela, cálculo de aceleración

    Generalmente es más conveniente ajustar los valore apropiados para las escalas de desplazamiento y aceleración y después calcular la escala de velocidad.

    El punto B se mueve perpendicular con respecto a AB con una velocidad de ωAB, la cual debemos calcular. El punto C tiene una velocidad absoluta a lo largo de CA y su velocidad relativa hacia B en una dirección normal con respecto a BC. Con esta información podemos dibujar el triangulo obc en la fig. 5.15b, según las líneas 1, 2 y 3. La velocidad del punto D relativa a C es perpendicular a la línea CD, mientras que la del punto D relativa al punto B es normal a la línea BD. Trazamos estas líneas en la parte b de la figura según las líneas 4 y 5 y por su intersección localizamos el punto d. La línea 6 desde el polo o hasta el punto d nos da la velocidad absoluta del punto D. Una tabulación explicando el significado de las líneas se ilustra en la Fig. 5.15c. Habiendo determinado las diferentes velocidades ahora estamos en posibilidad de trazar los diagramas de imágenes de aceleración.

    El polo o´ es el punto de partida para el diagrama de aceleración, que debe ser dibujando a doble escala para mayor claridad. El punto B no tienen aceleración tangencial, ya que se considera que la biela AB tienen un movimiento de velocidad angular constante . De ahí que, su aceleración total es una normal, igual a ω2AB que actúa hacia A. El valor de esta cantidades encuentra gráficamente dibujando AM normal hacia AB e igual en distancia con ob, o sea la línea 1 del diagrama de imagen de velocidad. Terminando la construcción del triángulo recto, obtenemos la distancia AM igual a V2 B/AB o sea ω2AB . En el diagrama de aceleración la línea 1´o sea o´b´, se traza dos veces la distancia de AN en una dirección paralela a BA.

    El punto C tendrá aceleración normal y tangencial con relación al punto B. La aceleración normal de C con relación B queda indicada por el triangulo CKL, de donde BK tiene igual distancia a la línea 2, o esa VC/B y BL es la aceleración normal relativa. Esta última se traza a doble escala desde el punto b´ mediante la línea 2´, paralela a BC. La aceleración tangencial de C relativa a B actuara normalmente hacia BC y se traza en una distancia infinita mediante la línea 3´.

    La aceleración absoluta del punto C debe de ser horizontal, ya que su movimiento está limitado en esa dirección, de ahí que la línea 4´ es trazada desde el polo o´ encontrado la línea 3´ hasta c´.

    La aceleración del punto C, es entonces la línea 4´o sea o´c´.

    Efectuando una construcción similar, podemos establecer la aceleración del punto D relativa al punto B. El triangulo recto BQR, empleando la línea 5, o sea bd, de la imagen de velocidad, nos da RD, la aceleración normal del punto D relativa al punto B. Esta se traza a doble escala partiendo de b´ mediante la línea 5´. La aceleración tangencial de D relativa a B es perpendicular a ésta y la trazamos con la línea 6´.

    Nuevamente la aceleración absoluta del punto D relativo a C, se encuentra por el triangulo DST empleando la línea 4, o sea cd, de la imagen de velocidad como CT. Esta distancia se mede a doble escala desde c´ como la línea 7´. La aceleración tangencial de D relativa a C es perpendicular a ésta y la trazamos como la línea 8´.

    La intersección de las líneas 6´y 8´ nos localiza el punto d´ y o´d´ o sea la línea 9´ es la aceleración absoluta del punto D. La aceleración total relativa de C hasta B es la línea 10´ trazada desde c´ hasta b´; desde D hasta B es la línea 11´ trazada desde d´ hasta b´; desde D hasta C es la línea 12´ trazada desde d´ hasta c´. Obsérvese que el triangulo b´c´d´, es semejante al triangulo BCD. Considerando únicamente las líneas llenas de la fig. 5.15d, se puede ver que se aplican los principios básicos de los diagramas de imagen de aceleración; en otras palabra , la aceleración del punto D (línea 9´) es igual a la suma vectorial de la aceleración absoluta del punto B (línea 1´) y la aceleración del punto D relativa al punto B (línea 11´). Un resumen semejante se puede hacer con la relación a los puntos D y C.

    Una tabulación dando la dirección el sentido de las diferentes líneas del diagrama de imagen de aceleración se ilustra en la fig. 5.15e. Ejemplo 2. La fig. 5.16 muestra a el mecanismo de un leva con un rodaja que esta pivoteada. El perfil de la leva tiene la forma de un arco circular con centro en B. Se requiere encontrar la velocidad angular y la aceleración angular de la rodaja, tomando en cuenta una velocidad angular constante de la leva.

   La distancia BC desde el centro de curvatura del perfil de la leva hasta el centro de la rodaja en constante. De ahí que el mecanismo equivalente es el de un cuadrilátero articulado con los eslabones AB, BC, CD, y DA (fijo).

    El triángulo de velocidad obc tienen sus catetos respectivos perpendiculares con AB, BC y CD. La distancia ob es igual a ωAB de donde ω es la velocidad angular del excéntrico. La distancia oc representa la velocidad de C. La velocidad angular de la rodaja es igual a oc/CD donde oc está expresada en unidades de velocidad y CD es la distancia real del brazo. Para el diagrama de aceleración, las líneas se dibujan en el orden ilustrado por las figuras en el diagrama, empezando desde el polo o´. Las dos tablas en la figura indican la dirección y el significado de cada línea trazada.

    Las tres aceleraciones normales o´b´, b´c´1, y o´c´2 que corresponden a las líneas 1´2´y 4´
respectivamente, su pueden calcular o localizar gráficamente. En el último caso las escalas de desplazamiento, velocidad y aceleración deben de conservar la relación indicada en el art. 4.8

    Las líneas de la imagen de aceleración se trazan en el orden indicado por la numeración. La localización del punto c´ es la intersección de las líneas 1´2´y 4´ respectivamente, se pueden calcular o localizar gráficamente.
En el último caso las escalas de desplazamiento, velocidad, y aceleración deben de conservar la
relación indicada en el Art. 5.4.3. Las líneas de la imagen de aceleración se trazan en el orden indicado por la numeración. La localización del punto c´ es la intersección de las líneas 3´y 5´. La aceleración angular requerida de la rodaja es igual a la aceleración tangencial de C, la cual esta representada por c´2c´ o sea la línea 5´, dividida por la distancia actual de CD. Ejemplo de resumen. Para ilustrar los diferentes métodos para encontrar velocidades y
 aceleraciones descritos en este capítulo, consideraremos el mecanismo de seis eslabones ilustrado en la Fig. 5.17a, en el cual todos los centros instantáneos han sido localizados. La velocidad del punto R queda indicada por el vector VR y se desea conocer: la velocidad del punto T mediante (a) el método eslabón a-eslabón (b) el método directo, o línea-de-centros (considerando R como un punto en el eslabón 2 y T como un punto en el eslabón 6) (c)el método de resolución y (d) el método imagen de velocidad. (e) Si la velocidad angular del eslabón 2(ω2/1) se representa por una línea de 1 cm de largo, se desea encontrar las velocidades angulares correspondientes a los eslabones 3 y 4 . (f) Considerando que la velocidad del punto R es constantes en magnitud ( esto es, ω2/1 es constante), se desea encontrar la aceleración del punto T por imagen de aceleración.

(a) Método eslabón-a-eslabón. Los dos puntos R y S se encuentran en el eslabón 3 y por esto giran alrededor del centro de pivoteo O31. En la Fig.5.17a, el punto R es girado alrededor de O31 hasta el eslabón 4, y se traza el triángulo O31GS para encontrar la velocidad de S. Los dos puntos S y T son puntos en el eslabón 5 y por esto giran alrededor del centro de pivoteo O51.

   El punto T se transporta alrededor de O51 hasta la extensión del eslabón 4, y el triángulo O51HT´ es trazado para encontrar la velocidad V´T. Este vector se trasporta de regreso alrededor de O51 hasta el punto T, obteniéndose la velocidad T.

(b) Método directo o línea de centros. Considerando R como un punto en el eslabón 2 y T como un punto en el eslabón 6, los tres centros instantáneos que se emplearán serán O21, O26 y O61. Estos se localizan en la fig. 5.17a. Los puntos R y el centro instantáneo O26 son dos puntos en el Figura 5.17a Ejemplo de resumen eslabón 2 y por esto giran alrededor del centro de pivoteo O21. El vector VR entonces es trasportado alrededor de O21 a través de una línea O21O26, y el triángulo O21O26J es trazado para encontrar la velocidad de O26. Esto entonces se debe relacionar de una manera semejante para el
punto T.

    De cualquier forma el centro de pivoteo O61 está en el infinito, lo que quiere decir que cualquier punto sobre el eslabón 6 tienen la misma magnitud y dirección de velocidad. Por lo tanto la velocidad de O26, un punto en el eslabón 6, es igual a la velocidad de T, y el vector es simplemente transferido al punto T.

(c) Método por resolución. La velocidad de VR del punto R se puede dividir en dos componentes; una sobre el eslabón 3, la cual llamamos V1 y la otra perpendicular a este eslabón como está indicado en la fig. 5.17b. La componente sobre el eslabón debe de ser igual en los dos extremos y de esta forma queda ilustrado como V´1 en el punto S. Desde el extremo de la componente V1 en S, se traza una línea normal al eslabón 3 que representa al otro componente. Donde intersecta la velocidad resultante del vector S, que es perpendicular al eslabón 4, se determina la velocidad de S.

    Repitiendo esto, la velocidad resultante de S se puede dividir dos componentes, una sobre el eslabón 5, la cual le llamamos V2 , y la otra perpendicular al eslabón 5. La componente a lo largo del eslabón debe se ser igual en ambos extremos y por esto también e lustra en el punto T como V´2. La velocidad absoluta del punto T debe de ser horizontal, ya que es en la única dirección en el cual se puede mover. Trazamos una normal en la punta del vector V´2 y su punto de intersección con la horizontal trazada desde el punto T nos de la magnitud de la velocidad de dicho punto T, o sea VT .

(d) Método de imagen de velocidad. Empezando desde el polo o (fig.5.17b) la velocidad conocida del punto T se traza perpendicular al eslabón 2. La velocidad del punto S relativa a R es en una dirección perpendicular a la línea RS , o sea el eslabón 3. Por lo tanto, desde r en el diagrama trazamos la línea 2 perpendicular al eslabón 3. La velocidad del punto S es un una dirección perpendicular al eslabón 4. Como la velocidad de S es absoluta por naturaleza, o sea relativa al eslabón fijo, trazamos la línea 3 desde el polo o perpendicular al eslabón 4. La intersección de las líneas 2 y 3 nos localiza los puntos s; y os, o sea la línea 3, es la velocidad del punto S.

    La velocidad del punto T relativa a S es un una dirección perpendicular al eslabón 5, por esto la línea 4 se dibuja desde s, normal ala eslabón 5. La velocidad del punto T debe e horizontal. Puesto que es relativa al eslabón fijo, se traza desde el polo o. La intersección de las líneas 4 y 5 determinan el punto t; y ot, o sea la línea 5, representa la velocidad del punto T.

(e)Velocidades angulares. Para localizar la velocidad angular del eslabón 4, conociéndola la velocidad angular del eslabón 2, se emplean tres centros, a saber O21,O24 y O41. La línea que representa la velocidad angular del eslabón 2 se proyecta en O41 (Fig.5.17c) y se dibuje el triángulo O24O41K. En O21 se traza una línea paralela a la línea que representa ω2/1 hasta encontrar la hipotenusa de este triángulo. La distancia de esta línea representa ω4/1 a la misma escala que la primera línea. O41K representa ω2/1.

   Para encontrar la velocidad angular del eslabón 3, conociendo la velocidad angular del eslabón 2, los tres centros que se deben emplear son O31, O23 y O21. Se dibuja en O31 la línea O31L que representa la velocidad angular del eslabón 2, y entonces se construye el triangulo O23O31L.

   Desde O21 se traza una línea paralela a O31L que representa ω3/1. (f) Imagen de aceleración. Las velocidades absolutas y relativas necesarias en el dibujo de este diagrama, se toman del diagrama de imagen de velocidad de la fig. 5.17b. Como se considera la velocidad del punto R una constante, solamente tiene aceleración normal. Se encuentra que su magnitud es BR por el triángulo recto ABO21. (Véase Fig. 5.17c).

   La imagen de aceleración se traza a triple escala para su mayor claridad; por esto esta distancia se traza desde el punto o´ paralela al eslabón 2 tres veces mas grande para obtener el eslabón 1´ o sea o´r´.

    El punto S tendrá aceleraciones normales y tangenciales relativas al punto R. La aceleración normal se encuentra trazando la línea 2 de la imagen de velocidad en S; y la distancia CS, se localiza por la construcción del triángulo rectángulo, trazándola a triple escala desde r´ paralela al eslabón 3 para obtener la línea 2´. La aceleración tangencial de S relativa a R es perpendicular a esta línea y es marcada 3´.

     La aceleración absoluta del punto S relativa a la tierra es la suma vectorial de las aceleraciones normales y tangenciales. Si empleamos la línea 3 de la imagen de velocidad en el punto S la distancia SD es la aceleración normal de S relativa al eslabón fijo 1. Como éste es un valor absoluto, se proyecta a triple escala desde el polo o´ paralelo al eslabón 4, mediante la línea 4´.

    La aceleración tangencial de S relativa a la tierra es una normal al eslabón 4 y se traza como la línea 5´. La intersección de las línea 3´ y 5´ localiza s´. La línea 6´ desde el polo o´ hasta s´ representa la aceleración absoluta del punto S.

    El punto T tiene ambas aceleraciones, normal y tangencial, relativas al punto S. Colocando la línea 4 de la imagen de velocidad en el punto T y dibujando el triángulo recto obtenemos TE como la aceleración normal de T relativa a S. Esta se proyecta a triple escala como la línea 7´, desde s´ y paralelamente al eslabón 5. La aceleración tangencial es perpendicular a ésta y queda ilustrada como la línea 8´. Cualquier aceleración absoluta de la corredera 6, o se a el punto T, debe ser horizontal. De ahí que la línea 9´, se dibuja desde el polo o´ hasta intersectar la línea 8´en t´. La línea 9´o sea o´t´ es la aceleración absoluta del punto T. La tabulación mostrada en la Fig. 5.17c resume los pasos acabados de esbozar.

Aceleración Coriolis

    El método de imagen para determinar aceleración es aplicable únicamente para localizar puntos
en un cuerpo rígido. Con referencia al mecanismo de cuadro articulado de la fig. 5.18a, podemos
escribir la ecuación vectorial.

aQ/1 = aP/1 + aQ/P = an
P/1 + at
P/1 + an
Q/P + at
Q/P
    Escribiendo esta ecuación que es la base para la imagen de aceleración, estamos tratando  únicamente con puntos localizados en el eslabón rígido 3. Ocasionalmente surgen problemas en los cuales es necesario encontrar la aceleración de puntos que no están en el mismo cuerpo rígido. Para tales problemas es necesario emplear la ley de Coriolis. Para ilustrarla, supongamos que el punto Q sobre el cuerpo 3, se esta moviendo a lo largo de una trayectoria curva CD sobre el cuerpo 2, conforme el cuerpo 2 gira alrededor del punto O (Véase fig. 5.18b). El punto P sobre el cuerpo 2 en el instante considerado se encuentre directamente debajo del punto Q; en otras palabras, es coincidente con él. El radio de curvatura de la trayectoria CD, es R. La aceleración del punto Q relativa al punto P queda indicada por la ecuación vectorial:

La aceleración normal de Q relativa a P, que cambie la dirección de la velocidad relativa V Q/P es


 y actúa sobre el centro de curvatura A de la trayectoria CD, que Q proyecta sobre el cuerpo 2. Si no hay cambio en la dirección de VQ/P, el radio R está en el infinito, y la aceleración normal relativa es igual a cero.
 
    La dirección de la aceleración tangencial de Q relativa a P, que cambia la magnitud de la velocidad relativa VQ/P es paralela al vector VQ/P y actúa en la dirección α3/2 . La dirección de la acción del vector Coriolis 2VQ/Pω2/1 se encuentra por la rotación de 90° del vector VQ/P y actúa en la misma dirección como ω2/1. Si la aceleración del punto P en el cuerpo 2 es conocida o se puede localizar, la aceleración del punto Q entonces nos es dada por la ecuación vectorial:
    En algunos casos no coinciden los puntos en los cuerpos. Entonces es necesario para propósitos de análisis, considerar que uno de los cuerpos se extienda para obtener un punto coincidente. Los principios acabados de esbozar, y el concepto físico de la acción que está sucediendo, se puede entender más fácilmente con la ayuda de algunos ejemplos. Ejemplo 1. Para el primer ejemplo consideremos un caso que se puede resolver por ambos métodos, el de la imagen de aceleración y de la ley de Coriolis. Consiste en la determinación de la aceleración del peso B en un regulador de inercia. El peso oscila al final del brazo 3 acoplado al volante 2 en el punto A, como está ilustrado en el diagrama de la fig. 5.19a.

    Tómese en cuenta que en el instante considerado, el punto B en el eslabón 3 (B3) tiene una velocidad angular de ω3/1 de 8 rad por seg en una dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor del punto A y una aceleración angular α3/1 en sentido contrario de las manecillas del reloj de 50 rad por seg2 alrededor del punto A. El volumen 2 en este instante tienen una velocidad angular ω2/1 de 12 rad por seg en el sentido de las manecillas del reloj, y una aceleración angular en el sentido de las manecillas del reloj de α2/1 = 40 rad por seg2. El punto B coincidente en el volante, o sea en el eslabón 2, se designará como B2.

    Antes de determinar la aceleración del punto B3 es aconsejable entender claramente la acción. Debe de tomarse en cuenta que la velocidad lineal y la aceleración del punto B3 relativa al punto B2, no es la misma que la de B3 relativa al punto A. La velocidad de B3 relativa a A es igual a ABω3/1. Como el brazo y todos los puntos sobre el volante están girando alrededor de O, con una velocidad angular de ω2/1 la velocidad de B3 relativa a B2 es, VB3/B2 = AB (ω3/1 ± ω 2/1) = AB ω3/2. Si ω3/1 y ω2/1 giran en el mismo sentido, la velocidad angular neta ω3/2 es la diferencia entre ω3/1 y ω2/1; si están en sentidos opuestos, la velocidad angular neta es la suma, y se emplea el signo más. Similarmente, para las aceleraciones: at
B3/A = ABα3/1, mientras que at B3/B2 = AB(α3/1 ± α2/1) = ABα3/1. Si el volante 2 no girara es decir, si se encontrara estacionario o con un movimiento de traslación, ω2/1 y α2/1 igual a cero, para que ambas VB3/A y VB3/B2 = ABω3/1 y las dos at B3/A y at B3/B2 = ABα3/1.

    En este ejemplo ω2/1=12 y ω3/1=8, y ambas actúan en sentidos opuesto; de donde VB3/A=ABω /1=1.5x8=12 pies por seg (3.65m por seg), y VB3/B2= AB(ω3/1+ω2/1)=1.5(8+12)=30 píes por seg. (9.14m por seg). En la misma forma para las aceleraciones: at B3/A = ABα3/1=1.5x 50=75 pies por seg2 (22.86m por seg2), y at B3/B2 = AB(α3/1+α2/1)=1.5(50+40)=135 pies por seg2 (35.15 m por seg2). Empleando primero la familiar imagen de aceleración, escribimos la siguiente ecuación:

    Estos vectores se trazan en orden en la parte b de la fig. 5.19 y sus direcciones se dan en la tabulación suplementaria. La aceleración del punto B3 es la línea 5, la cual se mide como 30 pies
por seg2 (9.15m por seg2). Si empleamos la ley de Coriolis, la Ecuación es:

    Estos vectores se trazan con líneas punteadas en la parte de (b) de la fig. 5.19 y están marcados con números con el índice (´); las direcciones se dan en la tabulación suplementaria. La aceleración del punto B3 corresponden al valor de 30 pies por seg2 (9.15 m por seg2) anteriormente encontrado. Debe observarse que la componente Coriolis de 2VB3/B2ω2/1 se traza horizontalmente a la derecha, de acuerdo con la regla, y su dirección es localizada girando 90° el vector VB3/B2 en la dirección de ω2/1. Empleando este ejemplo como base, vamos ahora a investigar el significado físico de le
expresión de Coriolis aB3/B2 = an B3/B2 + atB3/B2 + 2VB3/B2ω2/1. Si momentáneamente consideramos el eslabón 2 o la curva CD, fija, es evidente que al término an B3/B2 le favorece un cambio en
dirección de la velocidad 2VB3/B2 moviéndose a lo largo de la curva, mientras que al término at
B3/B2 le favorece el cambio en magnitud de este vector de velocidad. El componente Coriolis, 2VB3/B2ω2/1, esta basado en dos efectos que se suceden durante la rotación de la trayectoria. El primero es que el vector de velocidad VB3/B2 está girando con una velocidad angular ω2/1; de donde su dirección continuamente esta cambiando. La aceleración resultante es entonces VB3/B2ω2/. El segundo efecto se ocasiona por el hecho que, como el punto B3 viaja hacia fuera a lo largo de la curva CD, continuamente se esta acercando a un punto que tienen diferente velocidad en magnitud o dirección del que acaba de dejar, obteniendo una segunda aceleración de VB3/B2ω2/.

    Procedimiento general para resolver problemas por la Ley de Coriolis

    Para esbozar el procedimiento general que debe seguirse para resolver un problema por la ley de Coriolis, consideraremos que es conocida la aceleración de todos los puntos en el cuerpo 2, y que la aceleración en un punto en el cuerpo 3 es la requerida.

a) El primer paso es seleccionar un par de puntos coincidentes P2 y P3 en los dos cuerpos , o en la extensión de los cuerpos (de ser necesario, crecer imaginariamente la superficie de un eslabón), cuyo movimiento es conocido o fácilmente determinable.

b) Consideraremos el cuerpo 2 como fijo y localizaremos la trayectoria del punto P3 en él y después consideraremos el cuerpo 3 como fijo y encontraremos la trayectoria del punto P2 en él. Si los puntos coincidentes han sido seleccionados apropiadamente, una de estas trayectorias deberá ser una línea recta o un arco circular cuyo radio de curvatura es conocido. Este es el movimiento que se deberá emplear y en esta forma se podrá escribir la ecuación de Coriolis.

c) Si P3 proyecta un arco circular o una línea recta sobre el cuerpo 2 que se considera fijo, podemos escribir la ecuación como:

    Si P2 proyecta un arco circular o una línea recta sobre el cuerpo 3 que se considera fijo, podemos escribir la ecuación como:

   Nótese que el “denominador” de los términos subscritos en las expresiones de la aceleración relativa, se refieren al cuerpo considerado temporalmente como el fijo; y que el subscrito de la expresión ω también es la del cuerpo temporalmente considerado como el fijo, relativo al eslabón que es realmente fijo.

   d) Las magnitudes y/o direcciones para cada expresión se determinan entonces (algunas
magnitudes podrán ser iguala cero), y se traza el diagrama vectorial. La secuencia del trazo de
las líneas no necesitan seguir el orden dado en la ecuación; generalmente aquellas líneas cuya
magnitud es desconocida se dibujan hasta el final. En cualquiera de las ecuaciones la
aceleración absoluta es igual a la suma vectorial de an + at y por eso deberán dibujarse en
sucesión.

    Ejemplo 2. Para el segundo ejemplo vamos a considerar un caso que puede ser resuelto
únicamente empleando la ley de Coriolis. Esto se ilustra en la fig. 4.20a, donde tenemos una leva
girando a una velocidad angular constante de 20 rad por seg. en dirección contraria a las
manecillas del reloj. Una cara plana de la leva está en contacto con una rodaja, y se desea
determinar la aceleración de la rodaja en la posición indicada.

   Para obtener los puntos coincidentes es necesario para el análisis, imaginemos que la leva (eslabón 2) se ha extendido hasta incluir el centro de la rodaja de la varilla (eslabón 3) por tanto tenemos otra vez los puntos coincidentes B2 y B3 en los eslabones 2 y 3 respectivamente. La traza del punto B3 en el eslabón 2 será una línea recta paralela a la cara de la leva; en otras palabras, si consideramos el excéntrico fijo y la varilla girando alrededor de la cara plana, su centro B3 proyectará una línea recta paralela a la cara de la leva, como queda ilustrado por la línea punteada. El triángulo de velocidad se podrá dibujar ahora como está indicado en la fig. 5.20b. La velocidad del punto B2 es igual a OBω2/1 = 6x20 =120 plg por seg (304.8 cm por seg); la dirección de la velocidad B3 se conoce que es verticalmente hacia arriba, mientras que VB3/B2 es paralela a la cara del excéntrico. Las líneas 2, o sea VB3/B2 y 3, o sea VB3 se proporcionan en la escala de 137 y 97 plg por seg (342.5 y 242.5 cm por seg), respectivamente. Empleando la expresión Coriolis
se puede escribir:
Vamos a discutir estas expresiones por un turno: an B2/1 =OBω2 2/1 =6(20)2 = 2400 plg por seg2
(60.96 m por seg2), y actúa hacia abajo en una dirección paralela a OB; at B2/1= 0, ya que ω2/1 es constante. an B3/B2 = 0, como la dirección de VB3/B2 está sobre una línea recta, o sea que el radio este giro es infinito. Si la superficie del excéntrico fuese curva en el punto de contacto con la rodaja, tendríamos que determinar su radio de curvatura R y emplear la ecuación an B3/B2 = V2 B3/B2 / R. La magnitud de at B3/B2 es desconocida, pero su dirección es paralela a la cara del excéntrico o sea la trayectoria del movimiento de B3 relativa al eslabón 2. La componente Coriolis = 2 VB3/B2 ω2/1 = 2x137x20=5480 plg por seg2 (139.19m por seg2) su dirección es perpendicular a la superficie del excéntrico y actúa hacia arriba y hacia la izquierda, es decir, en la dirección del vector VB3/B2 girando 90° en la dirección de ω2/1. La aceleración del punto B3 debe de ser verticalmente hacia arriba; por esto el diagrama se podrá trazar como queda indicado en la Fig. 5.20c. El punto b´3 cae en la intersección de las líneas 3´y 4´. La tabla suplementaria indica el procedimiento. La distancia o´b´3 representa la aceleración del punto B3, y por lo tanto la de la rodaja. Esta distancia en la escala es de 4300 plg por seg2 (109.22m por seg2). Ejemplo 3. Para el último ejemplo vamos a considerar el mecanismo mostrado en la fig. 5.21a en que el eslabón 2 gira con una velocidad angular constante de 100 rmp en sentido contrario de las manecillas del reloj. Se desea encontrar la aceleración del punto C en el eslabón 3. Empleando la ley de Coriolis y considerando los puntos coincidentes B2 y B3 se puede escribir la ecuación:

    Como conocemos la velocidad del punto B2 y ésta es OBω2/1= (6/12) / (100 x 2π/60) = 5.23 pies por seg (1.59 m por seg), dibujamos el polígono de velocidad en la Fig. 5.21b, resolviendo esta velocidad en componentes paralelas y perpendiculares al eslabón 3. en la escala, estos valores de polígono nos dan VB2/B3 como 4.2 pies por seg (1.28 mpor seg) y VB3/0´como 3.2 pies por seg (0.97 m por seg) la velocidad angular del eslabón 3 es ω3/1 = V B3/O´ / O´B = 3.2 / (20/12) =1.92 rad por seg.

  Consideremos ahora las expresiones de la ecuación de aceleración. No existe aceleración tangencial del punto B2, en vista de que ω2/1 es constante. Por esto la aceleración total aB2/0 es igual a la normal an
B2/0 o sea OBω2 2/1 = (6/12)( 100 x 2π/60)2 = 54.8 pies por seg2 (16.7 m por seg2). Actúa sobre O y es paralela al eslabón 2. La an B3/0´ = V2 B3/0´ / O´B = 3.22 (20/12) = 6.14 pies por seg2 (1.87 m por seg2) paralela al eslabón 3 y actuando sobre 0’. La aceleración tangencial del punto B3 es desconocida en magnitud, pero su dirección es perpendicular al eslabón 3.

izquierda. Este polígono queda mostrado en la Fig. 5.21c; la tabulación en la parte (d) de esta   La aceleración normal del punto B2 relativa al punto B3 es igual a cero, ya que el movimiento es una línea recta o sea el radio de curvatura en el infinito. La magnitud de la aceleración tangencial del punto B2 relativa al punto B3 es desconocida pero la dirección es sobre el eslabón 3. El componente Coriolis 2 VB2/B3 ω3/1 = 2x4.2x1.92=16.13 pies por seg2 (4.92 m por seg 2) y su dirección está localizada por el giro del vector VB2/B3 , 90° en la dirección de ω3/1, o sea hacia la Figura 5.21. Ejemplo 3 de aceleración de Coriolis figura explica el procedimiento. Las expresiones al margen derecho de la ecuación han sido sumadas vectorialmente para igualarlas a la expresión (línea 1´) en el lado izquierdo. La aceleración del punto B3 se encuentre a escala de la línea 6´ en la figura, y su valor es 26.5 pies por seg2 (8.07 m por seg2). La aceleración del punto C se puede proporcionar, ya que la aceleración está en proporción directa con el radio; o sea aC/1 = a B3/1 (O´C / O´B) = 26.5 (30/20) = 39.7 pies por seg2 (12.1 m por seg2).

Conclusión. No era posible emplear el método imagen de aceleración en los últimos dos ejemplos, ya que los puntos concernientes no se podían considerar que estuvieran en un eslabón rígido. Fue necesario seleccionar un par de puntos coincidentes que se localizaran en diferentes eslabones. Estos puntos tienen movimiento relativo, y la aceleración de este movimiento relativo tuvo que localizarse.

LEVAS

 Levas

    Los mecanismos de levas se emplean ampliamente en la maquinaria por su facilidad de diseño para producir cualquier movimiento deseado. Los movimientos necesarias en partes de maquinas, comúnmente son de tal naturaleza que sería muy difícil obtenerla por cualquier otro mecanismo de igual simpleza y accesibilidad. Por esto los mecanismo de levas comúnmente se usan para accionar válvulas en las máquinas de combustión interna, en maquinaria para impresión, en maquinaria para fabricar zapatos, en maquinas automáticas para tornillos, en maquinaria para bocatear, en relojes, cerraduras, etc. Es difícil encontrar una máquina del tipo denominado “automático” que no emplee uno o más mecanismo de levas.

    Se puede diseñar una leva en dos formas: (a) suponer el movimiento requerido para el seguidor y diseñar la Leva que proporcione este movimiento o (b) suponer la forma de la leva y determinar las características del desplazamiento, velocidad y aceleración que de este contorno.

    El primero método es un buen ejemplo de la síntesis. De hecho, diseñar un mecanismo de leva a partir del movimiento deseado es una aplicación de la síntesis que se puede resolver en todo momento. Sin embargo, puede ser difícil fabricar la leva después de haber sido diseñada.

    La dificultad de manufactura se elimina en el segundo método si la leva se hace simétrica y si para los contornos de la leva se emplean formas que se puedan generar. Este es el tipo de leva que se emplea en aplicación automotrices en que esta debe ser producida con exactitud y economía.

    Solamente se estudia el diseño de levas con movimiento especificado. Las levas con movimiento especificado se pueden diseñar gráficamente y en determinados casos analíticamente también. Todos los mecanismos de levas se componen cuando menos de tres eslabones:

a) la leva, que tiene una superficie de contacto curva o derecha;

b) la varilla cuyo movimiento se produce por el contacto de la superficie de la leva;

c) la bancada, que soporta y guía la varilla y la leva.

Tipos de levas

    Hay mucho tipos de levas; a continuación se describen algunas de las más comunes.

   Leva de traslado: el perfil se corta en una cara de un bloque o una lámina de metal o de otro material, y la leva tiene un movimiento reciproco sobre una superficie como se muestra en la Fig. 7.1
   Esta es la forma básica, puesto que todas las levas se pueden considerar como cuñas que tienen superficies uniformes o, mas frecuentemente, con inclinación variables. La desventaja de este tipo, es que se obtiene el mismo movimiento en el orden inverso durante la carrera de retorno.

    Esto se puede evitar si envolvemos la cuña alrededor de la circunferencia de un circulo (fig. 7.2) para la forma de una leva de disco o plana. Cuando la acuña se forma en la superficie o punta de un cilindro, como se muestra en las Fig. 7.3, resulta una leva cilíndrica.

  De igual manera se tiene una leva cónica (Fig 7.4).

  Tipos de varillas o seguidores

  Debe tomarse en cuenta que la varilla o seguidor, puede hacerse mover en una línea recta o se puede pivotear para obtener un movimiento oscilatorio en cualquiera de los tipos de leva mencionados. Los diferentes tipos de varillas o seguidores se muestran en la figura 7.5.

   En el mecanismo ilustrado debemos notar que la forma de la leva es tal que no constriñe completamente el movimiento de la varilla, ya que no se ha indicado el medio de mantener contacto entre la leva y la varilla. El contacto continuo se efectúa usualmente por el empleo de las fuerzas de gravedad o la presión de un resorte.

   El mecanismo de la leva de movimiento positivo (Fig. 7.6) es aquel en el cual la varilla es obligada a moverse en una trayectoria definida por el constreñimiento de la superficie y sin la aplicación de fuerzas externas. Si no efectúa lo anterior se deberá únicamente a la rotura de alguna parte.

   Diseño del perfil

    La forma del perfil de una leva está regida por los requerimientos relativos al movimiento de la varilla.

     Estos requerimientos dependen de la función que el mecanismo ejecuta en la máquina en la cual se va a aplicar. El ciclo de posiciones de la varilla, determinado por tales consideraciones, pueden o no necesitar ciertos periodos de “reposo” durante el cual la varilla no tiene movimiento, y ciertos periodos de movimiento de una naturaleza especifica. Generalmente resulta conveniente empezar con el problema del diseño de la leva haciendo primeramente una representación gráfica del movimiento de la varilla a la cual llamaremos diagrama de desplazamiento. Esta es una curva lineal, en la cual la abscisas representan el desplazamiento de la leva y la ordenadas representan el desplazamiento de la varilla. Como los dos miembros pueden tener movimiento lineal o angular, estos desplazamiento pueden tener movimiento lineal o angulares, dependiendo únicamente de la forma peculiar del mecanismo bajo consideración. El desplazamiento lineal de la varilla comúnmente se denomina la “alzada” aunque algunas veces el movimiento no es en una dirección vertical.

    Frecuentemente en aplicación prácticas, las varillas se mueven exacta o aproximadamente de acuerdo con una de las siguientes condiciones:

   a) Movimiento con velocidad constante

    b) Movimiento con aceleración o desaceleración constante

    c) Movimientos armónico simple

    d) Cicloidal

    Los correspondientes diagrama de desplazamiento para estos cuatro casos, junto con algunas modificaciones se considerarán a continuación.

    La flecha de excéntricos, donde la leva tiene movimiento angular, se considerará que gira a una velocidad constante. La discusión que sigue esta basada en esta suposición. De esta manera la curva de desplazamiento es una en la cual la base representa tiempo, así como también desplazamiento de la leva, ya que las dos cantidades son proporcionales la una a la otra.

  Velocidad constante

    En la Fig. 7.7 se muestra el diagrama de desplazamiento para el mecanismo de una leva, en el cual la varilla se eleva con velocidad constante durante 90° regresa con velocidad constante durante 90° y reposa durante el resto del ciclo.

    Cuando un cuerpo se mueve con velocidad constante se desplazamiento es un proporción directa al tiempo transcurrido. Si se supone una velocidad constante para la leva, el desplazamiento de la varilla es por consiguiente proporcional al desplazamiento de la leva. La cuerva AB debe ser, para los primeros 90°, una línea recta, Durante el segundo periodo de 90°, una línea recta horizontal BC representa el periodo de reposo. Durante el periodo de reposo los siguientes 90° del movimiento de la leva se indican por otra línea recta ya que aquí tenemos otra vez velocidad constante. Se traza DE horizontalmente para el periodo final.

   Para una aplicación práctica probablemente el diagrama se modificaría en la forma ilustrada por las líneas punteadas a menos que la leva girára muy despacio. Esto se efectúa para evitar cambios bruscos del movimiento cuando empieza y termina la alzada y se substituye por un cambio gradual de velocidad que elimina choque y ruido. Nos referimos nuevamente a este asunto más adelante.


    Aceleración constante

    Para cualquier cuerpo en movimiento con aceleración constante, s = ½ at2 donde s es el desplazamiento a es la aceleración, y t el intervalo de tiempo. La distancia desplazada es entonces proporcional al cuadrado del tiempo. Si tomamos intervalos del desplazamiento de la leva de 1, 2, 3, 4, etc. Unidades de tiempo, los desplazamientos de la varilla al final de estos intervalos serán proporcionales a las cantidades 12, 22, 32, etc., o sea 1, 4, 9, etc. Este principio se aplica en el diagrama de desplazamiento mostrado en la fig. 7.8. Aquí los requisitos son que la varilla se mueva una distancia AC durante el desplazamiento de la leva AB. La construcción es como sigue.

    El segmento AB se divide en cualquier número conveniente de espacios iguales; éstos en la figura son en número de 4. Cada uno de estos espacios representa un intervalo de tempo igual, bajo la suposición de que la leva tiene velocidad uniforme.

    Los desplazamientos de la leva hasta los finales de estos intervalos son proporcionales a los números 1, 4, 9, 16.

   Pero AC es el desplazamiento al final del cuarto intervalo. Por tanto, dividimos AC en diez y seis partes iguales y proyectamos desde la primera, la cuarta, la novena, y la dieciseisava, como se ilustra en la figura, localizando de este modo los puntos sobre la curva requerida.

    Movimiento de aceleración y desaceleración constante Si la aceleración persiste hasta el final del viaje dela varilla, se obtendría como resultado una velocidad máxima justo antes de que la varilla llegara el reposo, y esto causaría un choque, a menos que la velocidad e la leva fuera muy lenta. Consecuentemente el periodo de aceleración deberá durar solamente una parte del intervalo de alzada y seguirá por una “desaceleración” con lo cual se obtendrá que la varilla llegue gradualmente al reposo. Si damos a estas cantidades valores constantes, comúnmente resultara en una acción suave dela leva. La aceleración constante puede o no ser igual a la desaceleración consten; el perfil de la leva se puede diseñar para obtener cualquier relación deseada de aceleración desaceleración. El diagrama de desplazamiento para un caso como el descrito se considerará enseguida.
 
    Sea a1 la aceleración constante durante la primera parte del movimiento de la verilla, y s1 y t1 el desplazamiento y el tiempo. Sea a2 la desaceleración durante la última parte del movimiento.

   Siento s2 y t2 el desplazamiento y el tiempo para el mismo intervalo. La relación a1/a2 es la relación de aceleración – desaceleración. Ahora S= s1+s2, donde S es el movimiento total de la varilla.

   Si v = velocidad al final del periodo de aceleración, por la ecuación v2 = v0 2 + 2as

  también, según la ecuación v = v0 + at; para una velocidad inicial cero:
    Estos es, los intervalos de desplazamiento y tiempo son uno al otro inversamente proporcional como la relación aceleración-desaceleración.

    Ejemplo. Trace el diagrama de desplazamiento para el mecanismo de una leva que tiene un movimiento de dos pulgadas (5 cm) durante 180° del desplazamiento de la leva; la aceleración y desaceleración son constantes y tienen una relación de 3 a 1.

   De la discusión anterior es evidente que los desplazamientos y los tiempos correspondientes a los dos intervalos son en una relación de 1 a 3. Para el periodo de aceleración, el desplazamiento es entonces una cuarta parte del desplazamiento total, y el periodo dura un cuarto del tiempo total, finalizando a 45° del desplazamiento de la leva (fig. 7.9).

    Esto fija la posición del punto B en la línea de 45° siendo la ordenada de ½ pulgada (1.27 cm) la construcción para los otros puntos en la curva de aceleración es igual a la empleada en la fig. 7.8

    En la curva de desaceleración BC se localiza de la misma manera trazando desde C hacia la izquierda.

    Modificación prácticas al diagrama de velocidad constante

    Según lo anotado el diagrama de desplazamiento para la leva de velocidad constante, se modifica en cierto grado de la forma teórica para aplicación prácticas, con el propósito de evitar cambios bruscos de velocidad al principio y al final de los periodos de la alzada.

    Esta modificación se pude efectuar mejor mediante el uso de un periodo corto de aceleración constante al principio de la alzada, el cual dura hasta que se ha obtenido un velocidad apropiada.

    Entonces la leva se mueve con velocidad constante hasta que se aproxima al final del periodo de la alzada donde se aplica una desaceleración constante, y la leva es llevada hasta el reposo sin choque.

    La construcción del diagrama de la alzada se considerará ahora para un caso como el descrito.
 
    Supóngase que se especifica una lazada para la varilla durante 150° del movimiento de la leva y los desplazamientos son 30° durante la aceleración constante, 90° para la velocidad constante, y 30° para la restante desaceleración constante.

    Cuando un cuerpo se acelera uniformemente desde el reposo hasta la velocidad v, en t unidades de tiempo es evidente que la velocidad promedio para los periodos es v/2 y la distancia recorrida es vt/2. Por otra parte, si el cuerpo tuviera una velocidad constante v, se movería la misma distancia vt/2 en el tiempo t/2.

  Consecuentemente la verilla en cuestión se movería la misma distancia durante los primeros 30° donde tienen aceleración constante, que la que se mueve en intervalos subsecuentes de 15° con velocidad constante. Por tanto, el total de la alzada se puede considerar compuesto de ocho incremento iguales, el primero se ejecuta en el periodo de los primeros 30° los siguientes seis en los subsiguientes intervalos de 15° y el último en el periodo final de 30°. Así pues, dividimos la alzada total (fig. 7.10) en ocho partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2,3, etc., y las proyecciones de 1 hasta 1´, 2 hasta 2´, etc. Conectando 0,1´,2´,3´, por una curva uniforme se completa el diagrama. Los puntos intermedios para la curva de aceleración y desaceleración se pueden localizar como en la Fig. 7.8.

   Movimiento armónico simple

    La construcción del diagrama de desplazamiento para el movimiento armónico simple de la varilla es la misma que para el trazo de la curva Tiempo-desplazamiento para un punto con movimiento armónico. La fig. 7.11 ilustra un caso donde la varilla se eleva durante 180° del movimiento de la leva, reposa por 90° y cae a la posición inicial en 90°. Se traza un semicírculo como se indica, empleando la alzada como diámetro. El ángulo de la leva para el periodo de la alzada 180°, se divide en cualquier número conveniente de partes iguales; cada una de estas representa 30°; el semicírculo también se divide en el mismo número de arcos iguales y de esta manera se localizan los puntos 1, 2, 3, 4, etc.

 

    Las proyecciones horizontales localizan los puntos 1´,2´,3´etc., sobre la cueva requerida. Para el periodo de “retorno” “caída” se pueden trazar proyecciones desde los mismos puntos, 1, 2, 3, si el ángulo de la leva correspondiente a este periodo se divide en el mismo número de partes que el semicírculo .

 Movimiento cicloidal

   Se ha encontrado que la leva cicloidal tiene muchas ventajas prácticas para obtener una acción
suave considerando los efectos de vibración.

La ecuación para este movimiento es

   donde S es el desplazamiento total que toma lugar durante el ángulo total de la leva θ0 y s es el desplazamiento que acontece a cualquier ángulo θ de la leva.

    El método gráfico para la construcción de esta cuerva se muestra en la fig 7.12 donde la alzada S tiene lugar durante el ángulo θ0 de la leva. El tiempo total o el ángulo de la leva se divide en un números conveniente de partes iguales, en esta caso doce.

   Una línea punteada diagonal, marcada OA se dibuja entonces a través del diagrama para representar el primer término de la ecuación. En la esquina inferior izquierda del diagrama se dibuja un círculo que tiene un radio S/2π y su circunferencia se divide en el mismo número de divisiones que la abscisa del diagrama. Los puntos se marcan en la dirección de las manecillas del reloj, como se ilustran en la figura. Entonces se proyectan horizontalmente a la línea central vertical del círculo y después paralelamente a la línea diagonal OA hasta la división correspondiente de tiempo o ángulo de la leva. Esta última construcción complementa el segundo terminó de la ecuación, que se resta del primer término o sea de l a línea recta OA .

   Para ilustrarlo, considerando un punto, el 5. La distancia O5´´ sobre la línea central vertical del círculo es igual a S/2π sen 2π θ/θ0 en vista de que el radio es S/2π y el ángulo en el círculo 12´05´ es igual a 2π θ/θ0.

   Dibujando el paralelogramo 05´´ cb, transferimos la distancia 05´´ desde el círculo hasta el punto requerido en el diagrama de desplazamiento, para localizar c en la cuerva deseada.

   Selección del movimiento

   En muchos casos de diseño de levas, el tipo de movimiento se basa en los requerimientos de la máquina. En el diseño de maquinaria automática, no obstante, frecuentemente el problema consiste en obtener un movimiento a través de una distancia determinada en un tiempo conocido; la única restricción sobre el tipo de movimiento es que debe de ser suave y con un mínimo de choque, o fuerzas desbalanceadas.

    En casos como tales, una curva de velocidad constante sin modificación seria poco aconsejable, ya que presenta una tremenda aceleración y desaceleración al terminar los movimiento. La elección cae entonces dentro del movimiento armónico simple, la leva cicloidal, o el movimiento de aceleración y desaceleración constante en iguales periodos de tiempo.

    La figura 7.13 es una comparación de estos cuatro movimientos cuando conectan dos periodos de reposo. La parte superior, muestra la cuerva de desplazamiento para la varilla cuando se mueve una unidad de distancia en una unidad de tiempo para la velocidad constante V; para el movimiento armónico simple (M.A.S.), aceleración y desaceleración constantes e iguales proporciones o gravedad G; y una leva cicloidal C.

    Las curvas de velocidad y aceleración se localizan y trazan gráficamente debajo de las de desplazamiento. De estas curvas, la cuerva de aceleración tiempo es la de mayor interés, ya que la magnitud de las fuerzas de choque es una función de la mas de la varilla y de su aceleración.

    Debe observarse que el valor máximo de la aceleración durante cualquiera de estos movimientos es el menor en la leva de “gravedad” lo que parece indicar que éste es el movimiento más aconsejable a emplearse. De cualquier forma, para ambos movimientos, el de gravedad y el armónico simple, la aceleración máxima, y por tanto la máxima fuerza de inercia, se aplican repentinamente al principio dela carrera. Esto ocasión aseveras perturbaciones vibratorias que se pueden reducir empleando la leva cicloidal la cual aplica gradualmente la aceleración.

   Una leva que produce movimiento armónico de la varilla se compone de un o mas arcos circulares y por esto es fácil y económico manufacturarlas con exactitud. Cuando la velocidad es reducida y las fuerzas de inercia no son importantes, este tipo de leva es más económico en su fabricación que las otras formas.

   Construcción del perfil de la leva

   Método general

    Hasta ahora hemos discutidos el método para dibujar diagrama de desplazamiento para los movimientos requeridos para la varilla. El siguiente paso que se considerará, es encontrar los perfiles de la leva necesarios para producir estos movimientos. La construcción se altera en sus detalles con los diferentes tipos de varillas, pero podemos esbozar un método general que se puede aplicar para todos los casos, sin consideración de la forma de la curva de desplazamiento, o de la variedad de la varilla en uso. Es aplicable para levas planas o de disco, levas cilíndricas y levas de traslado y comprende los siguientes pasos:

    (a) la leva se considera como el eslabón fijo en el mecanismo en vez de la bancada que soporta la flecha de excéntricos y guié la varilla. Esto es, tratamos con la inversión del mecanismo actual. Como quedo anotado, el movimiento relativo de cualquier parte de los eslabones queda sin alterarse cuando el mecanismo se invierte, por esto, la leva y la varilla tendrán el mismo movimiento relativo, no importando si es la bancada o la leva la que se considera como miembro fijo.

    (b) La parte de la varilla que actúa sobre la leva, se traza en las varias posiciones que ocupará en diferentes instantes durante su movimientos cíclico relativo a la leva estacionaria. La superficie de una rodaja; un punzón, una cara plana, convexa o cóncava en deslizamiento; etc. En la fig. 7.14 con las líneas punteadas se ilustra la posición de la varilla correspondiente a los desplazamientos angulares de 30°, 60° y 90° etc., desde un radio arbitrario cero. La elección de los intervalos angulares depende del número de puntos que se desean localizar en el perfil de la leva.

    (c) El perfil de la leva se localiza dibujando una curva uniformemente tangente a las superficies de contacto de la varilla en sus diferentes posiciones.

    La superficie de contacto de la varilla se localiza como se requiere en (b) encontrando primero la posición de algún punto seleccionado sobre la varilla. El punto elegido que podriamos llamar “punto de referencia” debe de ser uno que fácilmente se puede localizar de los datos obtenidos por la curva de desplazamiento, y también uno a partir del cual se trazan convenientemente la superficie de trabajo de la varilla. Por ejemplo, cuando se usa una rodaja, el centro de la rodaja es el mejor punto para este propósito; cuando la varilla es un plato, el punto donde el eje de la
varilla intercepta la cara de contacto es el mas satisfactorio.
Debe notarse que las construcciones descritas en los siguientes artículos difieren únicamente un
de la otra por las variaciones en la forma de la varilla empleada y en la manera en que el
movimiento queda restringido con referencia a la bancada y a la leva.

 Leva plana o disco

 Varilla de punzón

     En este mecanismo, la leva tiene contacto con la varilla sobre una línea representada por el punto A en la Fig. 7.14 en todas las posiciones. Este estilo de varilla es apropiado únicamente para efectuar servicios muy ligeros, por que la punta no se puede lubricar con efectividad: La presión en este punto y el desgaste posible será excesivo.

    Suponiendo que se conocen los datos necesarios para trazar por puntos, según los métodos descritos anteriormente, el diagrama de desplazamiento (Fig. 7.14a), procederemos a discutir el método para dibujar el perfil de la leva. El diámetro del círculo base se considera como 2 pulgadas (5cm) y la alzada una pulgada (2.54 cm) Las distancias x, y, z, etc., en la Fig. 7.14a representan los desplazamientos de la varilla después de 30°,60°,90° etc., del movimiento de la leva, desde luego se pueden emplear cualesquiera otros ángulos convenientes. Primero se traza el círculo base (Fig. 7.14) y se elige un radian de 0° como la línea de referencia que representa la posición inicial del eje de la varilla. En la posición inicial, indicada por las líneas sólidas, la varilla en forma de punzón toca el círculo base.

    De acuerdo con el plan general esbozado en el método para construir el perfil, consideramos la leva como el eslabón fijo y movemos la varilla alrededor de ella. El punto A es el punto de “ referencia” más conveniente y localizamos primero sus posiciones sucesivas.


    Para encontrar la posición de A después de 30° de movimientos de la leva, marcamos la distancia x desde A hacia fuera sobre la trayectoria del movimiento de este punto; de esta forma el punto 1 queda determinado.
 
     Luego con centro en O y radio O1 giramos el arco 1-1´ en el sentido opuesto al movimiento de la leva, subtendiendo un ángulo de 30° en el punto O. Entonces 1´ será la nueva posición de A correspondiente a 30° de movimiento angular. Empleando y ,z, etc., como desplazamientos, encontramos los puntos 2´, 3´, etc., en la misma forma.

    Como la leva toca siempre la varilla en A, terminamos la construcción trazando una cuerva suave pasando por los puntos a 1´,2´,3´, etc.

     No siempre se mueve el borde de la varilla en una trayectoria recta que pasa por el centro del eje de la leva: la Fig. 7.15 muestra el caso cuando la varilla esta descentrada; es decir A se mueve sobre un línea que pasa a un lado del centro de la leva.

    La descripción para obtener la construcción del perfil de la leva requerida en la Fig. 7.14 puede aplicarse sin cambios para la Fig. 7.15.

  Varilla con rodaja

    Comúnmente la varilla se guía para que se mueva con movimiento coplanario o se pivotea para que gira alrededor de un punto fijo. El método general se puede aplicar para ambos casos. El centro de la rodaja se emplea como punto de referencia y se determina primero su trayectoria y de esta se localiza en varias posiciones la superficie de contacto de la varilla o sea la circunferencia e la rodaja.

    (a) varilla con rodaja con movimiento coplanario.

    Suponemos que el diagrama de desplazamiento, Fig. 7.16 especifica las necesidades del movimiento.
  
    Primero se traza el circulo base (Fig. 7.17) y se localiza la rodaja en su posición inicial tocando este círculo. Se traza la trayectoria del centro de la rodaja AA’, después localizamos un radian de 0º, por conveniencia paralelo a AA’ y se proyectan intervalos angulares de 30° a partir de éste y con centro en O. Conservando la leva estacionaria, localizamos entonces la posición del centro de la rodaja A, después de 30° de desplazamiento de la varilla.

    El diagrama de desplazamientos indica un desplazamiento x a 30°; esa distancia se traslada a lo largo de AA´, obteniéndose el punto 1. Con centro en 0 y con radio 0-1, se describe un arco 1- 1´en sentido opuesto del movimiento de la leva, y de tal longitud que subtienda un ángulo de 30° en O. El punto 1 se puede localizar más fácilmente haciendo la cuerda 1-1’ igual a la cuerda LM o sea 1L igual a 1’M.

    Los puntos 1´,2´,3´,4´, etc., se localizan de la misma manera. Empleando estos puntos como centros y con el radio de la rodaja, se dibujan los perfiles correspondientes de la superficie de contacto de la varilla. El perfil requerido de la leva evidentemente es una cuerva trazada tangente a cada uno de estos círculos. Esta cuerva se dibuja lo más uniformemente posible.

    En la Fig. 7.17 la línea AA´ no pasa por el eje del excéntrico; por esto se dice que la varilla esta “descentrada”. Algunas veces se procura el traza descentrado para reducir el empujé lateral durante el periodo de la alzada.

    La fig. 6.18 ilustra una leva obtenida cuando la varilla esta centrada, es decir cuando AA’ pasa a través de 0. Los puntos 1´,2´,3´, caen respectivamente en los radianes de 30°, 60° y 90°.


 (b) Varilla de rodaja pivoteada:

    Aquí se considera que el movimiento angular de la varilla queda detallado siendo su desplazamiento total φ°. Trazamos un diagrama de desplazamiento para el movimiento angular de la varilla el cual también nos servirá como el diagrama de desplazamiento lineal, para el movimiento del centro de la rodaja A, puesto que estas dos cantidades están en proporción directa una a la otra (s = φr). Esta consideración es la base para la construcción que sigue. Suponemos que el circulo base, el diámetro de la rodaja, el largo de la varilla y la posición de pivoteo son datos conocidos. En la figura 7.20 primero trazamos el mecanismo con la rodaja tocando el circulo base. Un arco AA´ con centro en B y radio BA y de tal longitud que subtienda el ángulo
φ° en B, es la trayectoria del movimiento del centro de la rodaja.

    Luego trazamos el diagrama de desplazamiento, Fig. 7.19, empleando la distancia AA´ rectificada para representar el ángulo φ. El método para efectuar esto es exactamente el mismo que el usando cuando los desplazamientos de la varilla son lineales o angulares. Desde este punto en adelante, la construcción es idéntica a la empleada par la Fig. 7.17. La distancia x representa el desplazamiento a 30° y se transporta a lo largo de AA´ obteniéndose el punto 1. Con centro O y con radio 01 se construye un arco y se traza una cuerda 1-1´ en él, con una longitud igual a la cuerda LM (o sea 1L=1´M). Los puntos 2´,3´, etc., se localizan de la misma manera. Se trazan los círculos que representan la rodaja con 1´,2´,3´, como centros y finalmente se forma el perfil de la leva de modo que toque todos estos círculos.

    Varilla con cara plana o plato

    Aquí consideramos dos casos (a) cuando la varilla tiene movimiento rectilíneo y (b) cuando la varilla tiene movimiento angular alrededor de un centro de pivoteo.

    a) Varilla con cara plana o plato con movimiento rectilíneo
  
    La figura 7.22 ilustra este caso. Suponiendo que hemos obtenido el diagrama de desplazamiento y que es de la forma mostrada en la Fig. 7.21 procedemos como sigue. Trazamos el círculo base para la leva, y lo dividimos en partes angulares convenientes.

    Dibujamos la varilla en su posición inicial BC, tangente al círculo base. El punto A donde el centro de la varilla intercepta el plato BC se elige como punto de referencia. Se trasportan las distancias x, y, z, etc., obtenidas del diagrama de desplazamiento, a lo largo de la trayectoria del movimiento de A obteniendo los puntos 1,2,3, etc. Con centro en O y O1 como radio, giramos el arco 1-2´ . El punto 1´ es la posición de A después de 30° de desplazamiento. Dibujamos líneas semejantes a través de 2´3´, etc cada una perpendicular a su radio correspondiente. El perfil de la leva se localiza trazando una curva tangente a cada una de estas líneas. Debe notarse que las intersecciones de estas líneas forman triángulos, mostrados en la Fig. como superficies achuradas. El dibujo del perfil de la leva se facilitará se recuerda que la cuerva requerida toca la
base de cada uno de los triángulos en sus centros.

    El largo necesario de la cara el plato BC en la Fig. 7.22 se puede determinar rápidamente por la inspección de la figura. La cara es comúnmente un disco circular, libre para que gire alrededor del eje de la varilla. El punto de contacto esta solamente sobre el eje en las posiciones de “reposo” y se mueve hacia fuera en dirección de B o C conforme aumenta la velocidad de la varilla. Las distancias AB y AC deben de ser lo suficientemente grandes para que los puntos de contacto nunca pasen por B o C. Inspeccionando el diagrama, podemos localizar la distancia de la tangente mayor; AB y AC deben de ser cuando menos iguales a S y preferentemente, un poco más grandes. Descentrado la varilla un poco, como lo muestra la Fig. 7.23 se induce una lenta rotación a este miembro. Esto tiende a causar un desgaste más parejo en las superficies de
contacto.

   b) varilla con cara plano o plato con un centro de pivoteo

    La fig. 7.25 ilustra este mecanismo, en el cual la varilla gira alrededor del centro de pivoteo fijo B. Para construir el perfil e la leva, seleccionamos cualquier punto, tal como C en la cara de la varilla como punto de referencia.

    El arco CC´ con centro en B, Es la trayectoria del movimiento de C considerando la leva tiene un desplazamiento total de φ°. El diagrama de desplazamiento, Fig.- 7.24 se traza de la manera usual, empleando la distancia rectificada CC´ o sea a, para representar el desplazamiento de la varilla. La forma de la cuerva depende de la especificación del movimiento. La construcción de un punto en el perfil de la leva 30° de desplazamiento de la misma, queda indicado en la figura.

    La distancia x representa el desplazamiento de la misma, queda indicado en la figura. La distancia x representa el desplazamiento angular de la leva en este instante; esta distancia se transporta a lo largo del arco CC´ obteniéndose de esta manera el punto F. Luego se gira la varilla 30° en un sentido opuesto al movimiento de la leva, lo cual causa que F se mueva hasta F´y B hasta B´. F´se localiza fácilmente ya que el ángulo BAB´= 30° y BF = B´F´, Dibujando con B´ como centro, un círculo con radio BG, la tangente F´G´ representa la nueva posición de la ara de la varilla. Repitiendo esta construcción para otros ángulos de la leva obtenemos las series de líneas mostradas en la figura, las cuales deben ser tangentes al perfil de la leva.

    Ángulo de presión de la leva

    Mientras que la leva gira y acciona su varilla, ejerce una fuerza sobre la varilla a través del punto de contacto y norma a la superficie de la leva, como se muestra en la Fig. 7.26. Esta fuerza se descompone en dos componentes, una normal al movimiento de la varilla y la otra en dirección al movimiento de ésta.


    La componente perpendicular al movimiento Fn obviamente no es aconsejable, en vista de que no solamente no efectúa un trabajo satisfactorio, sino también tiende a separarse o brincarse del vástago de la varilla y causa un desgaste excesivo en las guías y soportes de la misma.

    Podemos encontrar una medida de la magnitud relativa de la componente no deseada mediante el ángulo de presión de la leva α.

    El ángulo de presión tienen un lado en dirección al movimiento de la leva y el otro normal a la superficie de la leva en el punto de contacto, como se ilustra en la Fig. 7.26.

    El valor máximo del ángulo debe ser lo menor posible, y en general no debe exceder los 30°. La magnitud de la componente no deseable es una función no solamente del ángulo de presión, sino también de la fuerza total implicada. Esto a su vez, depende de la velocidad de la leva, el coeficiente de fricción, el radio de la leva, la carga o resistencia del resorte en la varilla, etc. En vista de estos factores, no es posible calcular un valor máximo absoluto par el ángulo de presión máxima para todas las condiciones.

    El ángulo de presión es una función del radio del círculo base más el radio de la rodaja de la varilla, del descentramiento, de la alzada de la varilla, del ángulo girado por la leva mientras ocurre la alzada y del tipo de movimiento empleado para la varilla.

    Diámetro del círculo base

    Al suponer cualquier diámetro del círculo base, es muy importante tomar en cuanta ciertos factores. Para una determinada alzada s durante un desplazamiento angular especifico de la leva θ, resultará un círculo base grande en un ángulo de presión α pequeño. Esto se ilustra en la Fig. 7.27 donde la alzada s se requiere para el ángulo de la leva θ. SE emplea una varilla de punzón; y por simplicidad, se supone que la forma del perfil de la leva durante el movimiento es una línea reta. En la parte a) de la figura, la el diámetro del círculo base es dos veces más grande que en la parte b), permaneciendo todos los otros actores constantes. El ángulo de presión en la parte a) es considerablemente menos que en la parte b), para las posiciones correspondientes de la leva de punzón.

    Si el diámetro del círculo base es muy pequeño resultaría una condición en la que sería imposible que toque toda las posiciones de la varilla. Entonces para la varilla de cara plana mostrada en la Fig. 7.22 con un círculo base pequeño resultaría la situación mostrada en la Fig. 7.28 donde es imposible dibujar una curva que toque todas las líneas tales como 1-1´, 2-2´,3-3´etc.

    La causa se debe a la muy rápida aceleración o desaceleración de la varilla, y el remedio esta en aumentar el diámetro del circulo base. Cuando se agranda el círculo base, una cierta cantidad, tres de las líneas coincidirán en un punto; entonces el perfil presentara un filo, el cual es posible que se desgaste muy rápidamente. Si continuamos aumentando el círculo base se ocasionara que desaparezca este filo.

    En general el diámetro del círculo base debe hacerse lo más grande posible dentro de las limitaciones del espacio disponible. También debe ser mayor en diámetro que el cubo de la leva o la flecha de la leva para asegurarse que la varilla no va a trabajar en el cubo de la leva o la flecha en vez de un el perfil de la leva.

    Leva de retorno positivo
 

    Cuando se tiene una leva de disco y seguidor radial, con frecuencia es necesario regresar el seguidor en forma positiva en vez de por medio de la gravedad o por medio de un resorte. La figura 7.29 muestra una leva de este tipo en que la leva controla positivamente el movimiento del seguidor, no solo durante el movimiento hacia fuera sino también en la carrera de retorno.

    Necesariamente, el movimiento de retorno debe ser igual que el de salida, pero en direcciones opuesta. A esta leva también se le conoce como leva de anchura constante.

    Para las levas planas o de disco el control del movimiento de la varilla mediante el uso de dos superficies de contacto se efectúa de las siguientes maneras:

    (a) por el uso de un disco ranurado y una varilla con rodaja, como en la –Fig.7.6

    (b) proporcionando dos superficies de contacto en la varilla localizadas en lados opuestos del
eje de la leva, ambas trabajando en la misma leva (vea. Fig. 7.29)

    (c) Empleando dos superficies de contacto en la varilla como en el tipo b, pero logrando que
cada una trabaje sobre una leva por separado (véase Fig.7.30).

   Levas tipo cilíndrica

   Tipos.

     Estas levas pueden tener varillas guiadas en tal forma que se muevan a lo largo de una línea recta sobre un elemento del cilindro (Fig. 7.31a) o las varillas pivoteadas de tal forma para que se muevan alrededor de un eje perpendicular al eje de la leva (Fig. 7.31b). La rodaja si es cilíndrica, no puede tener contacto puro en rodadura debido a las diferencias de las velocidades consecuentemente se fabrican algunas veces en la forma de un cono truncado (fig. 7.31c) con el ápice sobre el eje de revolución de la leva. No obstante que esto promueve una rotación de rodadura pura, también introduce un empuje indeseable y que tiende a sacar la rodaja fuera de la leva.

    Generalidades

    Muchas levas tienen perfiles formados por arcos circulares. Hay tres razones para emplear estos tipos de perfiles con preferencia a otras curvas: (1) las especificaciones del departamento de dibujo son mas fáciles de hacer para el uso del taller; (2) el proceso de manufactura es mas económico; (3) la leva terminada se puede rectificar con mayor facilidad y mayor presesión. Las levas de las válvulas empleadas en los automóviles y en otros motores de combustión interna, así como muchas otras, con comúnmente de esta clase.

    Eligiendo los radios y los centros e los arcos apropiadamente los requerimientos teóricos de los movimientos de las varillas pueden aproximarse muy exactamente. El proceso del diseño se puede efectuar primeramente dibujando el diagrama de desplazamiento para un movimiento deseado tomando una escala grande y trazar la leva a partir de este. Entonces por experimentación se eligen los arcos y los radios que se aproximen a la forma real. Finalmente la leva resultante se rectifica trazando hacia otras hasta el diagrama de desplazamiento el cual se compara con el original. Si en la revisión de la leva se encuentra una alteración de la curva de desplazamiento a una forma poco satisfactoria, será necesaria efectuar otra revisión.

    Para las levas de alta velocidad es necesario dibujar una curva de aceleración de la varilla, ya que la presión del resorte necesario en el tipo negativo depende en gran parte del peso de la varilla y de las partes adjuntas y de la aceleración. Comenzando con el diagrama de desplazamiento y tratándolo como una curva de tiempo-desplazamiento, según el método anotado, podemos construir una curva de velocidad-tiempo y una de aceleración-tiempo; esta última nos da la información necesaria para calcular el resorte.

     Levas de las válvulas del motor de automóvil

    La fig. 7.32 muestra un ensamble típico de válvula y leva para una Leva de automóvil con la nomenclatura de sus varias piezas.

    Varillas primarias y secundarias

    El mecanismo de la Fig. 7.32 tiene una varilla pivoteada, sobre el otro lado se encuentra una varilla secundaria que hace contacto con movimiento rectilíneo. Nos referimos a éstas respectivamente, como leva “primaria” y “secundaria”. Las ventajas de un arreglo como éste son:

    (a) la leva secundaria se releva de casi todo el empuje lateral;

    (b) con una determinada leva se obtiene una gran relación de aumento de reducción del
desplazamiento primario, y

    (c) el eje de la leva secundaria se puede descentrar a una distancia considerable del eje del excéntrico para el acomodo del mecanismo de una determinada máquina. Se puede suponer que el movimiento de la leva secundaria es definidamente específico, para que pueda dibujarse un diagrama de desplazamiento (como el de la Fig. 7.31) también podemos suponer que se dan suficientes datos para permitir que el mecanismo se trace en la posición indicada por las líneas sólidas de la Fig.7.32 con la rodaja haciendo contacto en el círculo base.