Los valores cinemáticos en las máquinas han alcanzado magnitudes extraordinarias. Las velocidades de rotación, que una vez se consideraron altas a un valor de 10 000 rpm, ahora se aproximan a 100 000.0 rpm.
Los grandes rotores de los motores a chorro trabajan a velocidades de 10 000 a 15 000 rpm, y las
ruedas de turbinas pequeñas giran a una velocidad de 30 000 a 60 000 rpm.
El tamaño de los rotores y su velocidad de rotación se relacionan en tal forma que a menor tamaño mayor será la velocidad de rotación permitida. Una cantidad más básica en los rotores es la velocidad periférica, la cual depende de la velocidad de rotación y el tamaño (V = ωR). Las velocidades periféricas en las turbomáquinas están llegando a valores de 50 000 a 100 000 pies/min. Las velocidades periféricas en las armaduras eléctricas (10 000 pies/min) y en los cigüeñales automotrices (3 000 pie/min) son más bajas que en los rotores aeronáuticos.
Aunque las velocidades de los rotores o de las manivelas de los mecanismos de eslabones articulados son bajas, la tendencia es hacia mayores velocidades debido a la demanda de mayores tasas de productividad en las máquinas que se emplean para impresión, fabricación de papel, hilado, computación automática, empaque, embotellado, maquinado automático y muchas otras aplicaciones.
La aceleración centrípeta en la periferia de un rotor depende del cuadrado de la velocidad de rotación y del tamaño (An = (ω2R). En las turbinas, dichas aceleraciones se están aproximando a valores de 1 a 3 millones de pies/s2 o sea aproximadamente de 30 000g a 100,000g, valores que pueden compararse con la aceleración de 10g que soportan los pilotos de aviones, o de 1000g que soportan los pistones automotrices.
La aceleración se relaciona con la fuerza (MA), por el principio de Newton y se relaciona a su vez con el esfuerzo y la deformación, que pueden o no ser críticos en una pieza de una máquina, dependiendo de los materiales empleados. La velocidad de una máquina está limitada en última instancia por las propiedades de los materiales de que está formada y las condiciones que influyen en las propiedades de los materiales empleados.
Las altas temperaturas que se dan por la compresión de los gases y la combustión de los combustibles, junto con las que se dan como resultado de la fricción, son una condición que influye en la resistencia de los materiales de las máquinas de potencia de alta velocidad. El grado en que se eleva la temperatura también depende de las medidas que se tomen para la transferencia de calor mediante refrigerantes como aire, aceite, agua o Freon.
El buen diseño de una máquina depende de la explotación del conocimiento en los campos de la dinámica, el análisis de esfuerzos, la termodinámica, la transmisión de calor y las propiedades de los materiales.
Sin embargo, el propósito de este capítulo es estudiar solamente las relaciones cinemáticas en las máquinas.
Para los cuerpos que giran alrededor de un eje fijo, como el caso de los rotores, los valores cinemáticos se determinan rápidamente a partir de formulas elementales bastante conocidas ( V = ωR, An = ω2R, At = αR ).
Sin embargo los mecanismos como el corredera-biela-manivela y sus inversiones son combinaciones de eslabones que constan no solamente de un rotor sino también de miembros oscilatorios y reciprocantes.
Debido a las velocidades y aceleraciones relativas entre los diferentes miembros. Junto con las muchas posiciones relativas geométricas que se pueden dar, el análisis cinemático de un mecanismo de estabones articulados es relativamente complejo comparado con el de un rotor.
Los principios y métodos que se ilustran en este capítulo son principalmente los que se emplean para el análisis de mecanismos de eslabones articulados compuestos de combinaciones de rotores, barras, correderas, levas, engranes y elementos rodantes.
En las exposiciones siguientes se supone que los eslabones individuales de un mecanismo son cuerpos rígidos en que las distancias entre dos partículas dadas de un eslabón móvil, permanecen fijas. Los eslabones que sufren deformaciones durante el movimiento, como los resortes, caen dentro de otra categoría y se analizan como miembros vibratorios.
La mayoría de los mecanismos elementales se encuentran en movimiento plano o se pueden analizar como tales. Los mecanismos en los que todas las partículas se mueven en planos paralelos se dice que están en movimiento plano o coplanarios.
El movimiento de un eslabón se expresa en términos de los desplazamientos lineales y las aceleraciones lineales de las partículas individuales que constituyen el eslabón. Sin embargo, el movimiento de un eslabón también puede expresarse en términos de los desplazamientos angulares, las velocidades angulares y las aceleraciones angulares de líneas que se mueven con el eslabón rígido.
Existen muchos métodos para determinar las velocidades y aceleraciones en los mecanismos, los que se emplean comúnmente son:
a) análisis de velocidad por centros instantáneos;
b) análisis de velocidad por método de resolución
c) análisis mediante el empleo de ecuaciones de movimiento relativo que se resuelven ya sea
analítica o gráficamente por medio de polígonos de velocidad y aceleración (método de
imagen);
d) análisis mediante el empleo de matemáticas vectoriales para expresar la velocidad y
aceleración de un punto con respecto de un sistema fijo o un sistema móvil de
coordenadas;
e) análisis mediante ecuaciones vectoriales de cierre de circuito escritas en forma compleja.
De los métodos mencionados, el primero, el segundo y el tercero, mantienen el aspecto físico del problema. El quinto método que hace uso de vectores en forma compleja, tiende a hacerse demasiado mecánico en su operación a tal grado que los aspectos físicos se pierden rápidamente. Sin embargo se debe mencionar que el cuarto y quinto método se presentan para soluciones por computadora, lo cual es una ventaja decisiva si un mecanismo se va ha analizar durante un ciclo completo. Particularmente en este capítulo se analizaran los tres primeros métodos.
Velocidades de los centros instantáneos
Cuando un cuerpo gira alrededor de un centro, la velocidad de cualquier punto en él será en una dirección perpendicular al radio y su magnitud es proporcional al radio de esta forma en la Fig. 5.1 donde el cuerpo 2 esta articulando al cuerpo 1, la velocidad del punto P es perpendicular al radio rp y tiene una magnitud vp = ω2/1 rp. Similarmente a la velocidad del punto Q es perpendicular al radio rQ y tienen una magnitud vQ =ω2/1 rQ dividiendo estas dos ecuaciones se produce:
vQ / vp = rQ / rp o vQ = vp (rQ / rp )
De donde:
El mismo resultado podría obtenerse girando el punto Q alrededor del centro O hasta el punto X en la línea Op (fig. 5.2) trazando la linea OY, y el vector XZ perpendicular a Op o rp, obtenemos otra vez dos triángulos semejantes. Consecuentemente, XZ representan la magnitud de la velocidad del punto Q a la misma escala que PY representa la velocidad del punto P. El vector XZ es marcado V´Q ya que es la magnitud Vq, pero no su dirección correcta. Girando este vector alrededor de O hasta el punto Q, obtenemos la velocidad VQ, ya que se han considerado solamente condiciones instantáneas, esta construcción grafica es aplicable cuando el punto sobre el que gira el cuerpo es un centro instantáneos o un centro permanente.
Muy frecuentemente es necesario encontrar la velocidad de un punto en un determinado eslabón de un mecanismo, a partir de la velocidad de otro punto localizado en un diferente eslabón. Comúnmente se dispone de varios métodos y cada uno de ellos tiene sus ventajas para casos particulares, es muy aconsejable que el estudiante entienda los principios de cada uno de estos métodos , para que utilice el que mas le convenga para un problema en particular, o bien emplee un método para comprobar el otro. Algunos problemas se resuelven mejor combinando estos métodos.
Antes de esbozar los métodos, resulta conveniente clasificar alguno de los centros instantáneos como centros de pivoteo. Estos son los centros relacionados al eslabón fijo 1 y por lo tanto tienen su numero en su subscripto. De esta manera, en la fig. 5.3 los centros de pivoteo son O12
O13 y O 14.
Este es un método de paso por paso, por medio del cual comenzamos con el eslabón donde esta localizado el punto con la velocidad conocida, y derivamos a través de su centro instantáneo con respecto a un eslabón conectado y después continuamos con el eslabón conectado a su centro instantáneos con respecto al siguiente eslabón. Continuando de esta manera, llegamos finalmente al eslabón que contiene el punto cuya velocidad es requerida. En general, es necesario empezar localizando todos los centros de pivoteo y los centros instantáneos de cada eslabón con respecto a su eslabón adjunto.
Para ilustrar el método consideraremos el cuadrilátero articulado de la fig. 5.3 en el cual el eslabón 1 es fijo. Supondremos que la velocidad del punto Q en el eslabón 1 es la requerida. En este ejemplo los eslabones 2 y 4 están conectados por el eslabón 3, y trabajaremos a través de este ultimo desde el 2 al 4.
Primeramente localizamos los centros instantáneos O21 O25, O31 O34 y O41, como se ilustra en la figura.
La velocidad del punto P es conocida y representada por el vector Vp, perpendicular a una línea desde P al centro de pivoteo O21, considerando los dos puntos P y O23 como puntos en el eslabón 2, trazamos la construcción ( según el art. 5.1) mostrada y por triángulos semejantes a y b encontramos el vector de velocidad Vo23 para el punto O23.
Por definición de un centro instantáneos, O23 es un punto en el eslabón 3, así como también en el eslabón 2, Siendo un punto en el eslabón 3 gira sobre el centro de pivoteo O31; igualmente como es un punto en el eslabón 2 gira sobre el centro de pivoteo O21. Por lo tanto el vector de velocidad V023 es trasportando (arco c) girando sobre el centro de pivoteo O31 a una línea que pasa sobre O31 y O34. Considerando la posición de O23 girada y el centro O34 como punto en el eslabón 3, efectuamos la construcción (según Art. 5.1) mostrada según los triángulos d y e; empleando O31 como el centro de pivoteo para encontrar el vector de velocidad Vo34 para el punto O34 . Ahora O34 y Q, son putnos en el eslabón 4, que giran sobre el centro de pivoteo O41 .
De ahí que Vo34 se puede trasporta sobre este centro de pivoteo a la línea O41Q (arco f)
Dibujando los triángulos semejantes g y h, encontramos el vector de velocidad VQ que representa la velocidad requerida para el punto Q. Dicho vector es perpendicular a un línea desde Q hasta el centro de pivoteo O41.
De esta descripción es evidente que : el giro de cualquier eslabón relativo al eslabón fijo ocurre alrededor del centro de pivoteo que contiene el número de ese eslabón y el del eslabón fijo. La velocidad absoluta de cualquier punto sobre un eslabón, es en una dirección perpendicular a una línea desde el punto hasta el centro de pivoteo de ese eslabón, y el vértice del triángulo semejante, según la construcción del art. 5.1 siempre es el centro de pivoteo del eslabón considerado.
En este ejemplo los tres eslabones 2, 3 y 4 están conectados por pernos articulados. Las conexiones entre estos eslabones pueden, no obstante, ser de cualquier forma, y el método se pude aplicar en cualquier mecanismo, siempre que los centros instantáneos requeridos están accesibles.
b) Método directo.
Cuando un mecanismo tiene muchos eslabones, el método eslabón-eslabón resulta ser muy fastidioso. Muy frecuentemente se puede emplear el método directo para reducir el trabajo que se requiere en tales casos. Tal como lo implica el nombre, vamos directamente desde el eslabón que contiene la velocidad conocida, hasta el eslabón que tiene el punto cuya velocidad es larequerida. Esto puede efectuarse encontrando la velocidad del centro instantáneo que contiene en su subscrito los números de los dos eslabones en cuestión, ya que en este punto los dos eslabones tienen una velocidad común. Por lo tanto solamente se necesitan localizar tres centros instantáneos . Si el eslabón fijo es 1 y los dos eslabones en cuestión son m y n, los centros que deben localizarse son Omn Oml y Onl. Los últimos dos centros son los centros de pivoteo, y los principios del método eslabón-a-eslabón, con referencia a la construcción, se aplica igualmente aquí.
Los puntos P y O24 son dos puntos sobre el eslabón 2 y por eso giran alrededor del centro de pivoteo O21. Como la velocidad de P es conocida, la velocidad de O24 se puede localizar gráficamente por el método del Art. 5.1 y se designa Vo24 . Como el eslabón 2 pivotea alrededor de O21 se traza el triángulo a con un cateto que representa Vp. El triangulo b semejante a a, tendrá un cateto correspondiente representado, como se ha indicado, la velocidad de O24. Por ser un punto en el eslabón 4, O24 tienen la misma velocidad Vo24: por tanto conocemos la velocidad de un punto en 4 podemos encontrar la velocidad de cualquier otro punto, tal como Q. Puesto que el eslabón 4 gira alrededor de O41, construimos el triángulo c, y después el triangulo semejante d. Este vector es girando alrededor de O41 hasta el punto Q, donde se hace perpendicular a un a línea desde Q hasta el centro del pivoteo O41. En esta posición el vector representa la velocidad de Q en magnitud y dirección.
La construcción se puede aplicar a cualquier forma de mecanismo siempre y cuando esté disponible el centro instantáneo común a los dos eslabones en los cuales se localizan los puntos; cuando este punto no es accesible se debe emplear algún otro método. En algunos casos la localización de este centro requiere mucho trabajo, y se puede facilitar empleando otro método. Hay que tomar en cuanta que, si uno de los centros de pivoteo se localizan hasta el infinito, todos los puntos en ese eslabón tendrán la misma velocidad en magnitud y dirección. Entonces, si se encuentra la velocidad del centro común y el centro de pivoteo del eslabón del cual se desea conocer la velocidad está en el infinito, no es posible, o necesario, trazar arcos, ya que la velocidad del punto es la misma que la del centro común en magnitud y dirección.
Velocidades lineales por resolución
Si la magnitud y dirección del movimiento de un punto en un cuerpo en movimiento, y la dirección del movimiento de un segundo punto en el mismo cuerpo son conocidas la magnitud de la velocidad del segundo punto se puede determinar por resolución. Este método depende del hacho que la distancia entre los dos puntos es constante si el cuerpo es rígido.
Sean P y Q (Fig. 5.5) dos puntos en el cuerpo 2 en movimiento con respecto al cuerpo 1. La velocidad de P esta indicada en magnitud y dirección por el vector Vp, en el instante considerado. El punto Q tienen movimiento en la dirección QA en el mismo instante . La dirección PQ es constante, y también los componentes de las velocidades en una dirección paralela a PQ deben de ser iguales; de otro manera la distancia entre ellos se aumentaría o se disminuiría. Trazando el triángulo a encontramos el vector V1, la componente paralela a PQ. Ahora podemos trazar el triángulo b, ya que el vector V´1, representa la componente de la velocidad de Q´ paralela a PQ, y es iguala V1; también un cateto es perpendicular a PQ y el tercero coincide sobre QA. El cateto mencionado últimamente es VQ, y representa la velocidad de Q.
Al dibujar las componentes de una resultante, siempre deben trazarse paralelas y perpendiculares al eslabón, o a una línea proyectada sobre los extremos de los eslabones, pero nunca perpendiculares a la resultante. Si no se trazan perpendiculares hacia el eslabón, estas componentes tendrán otra componente de ellas mismas a lo largo del eslabón, lo cual no destruye el principio en que está basado el método.
El método por resolución no podrá aplicarse cuando dos puntos coinciden sobre una línea radial de un eslabón que tiene rotación pura. En casos tales no hay componentes de movimiento sobre esta. En este tipo de situación debemos acudir al procedimiento esbozado en el Art. 5.1. Trabajando de punto a punto a través de los eslabones conexos, el método por resolución se puede emplear en muchos casos para localizar la velocidad de cualquier punto en un mecanismo cuando la velocidad de un punto, no necesariamente en el mismo eslabón es conocida.
La aplicación de este método se podría describir empleando el mismo mecanismo usado anteriormente, como se muestra en la Fig. 5.6. La velocidad del punto P es conocida y la velocidad del punto Q es la requerida. Como el unto P y el centro instantáneo O23 coinciden en una línea radial, no se puede emplear el método por resolución para encontrar la vo23, y debemos emplear la construcción de triángulos semejantes del Art. 5.1 La velocidad de O23 queda ahora, completamente establecida, pero solamente conocemos la dirección de la velocidad resultante de O34(perpendicular al eslabón 4, o a O34 O41). La velocidad del punto O23 se puede dividir en dos componentes: una perpendicular al eslabón 3 y la otra a lo largo de éste. Esta última es marcada V1. Esta componente debe ser la misma en el extremo derecho, en otra forma el eslabón 3 se alargaría o comprimiría. De allí que V´1, igual en longitud a V1, se traza desde O34 hasta una perpendicular al eslabón 4 o a O34 O41, determina el final del vector Vo34.
Por esto la punta del vector VQ coincide en la intersección de una línea perpendicular a O34Q en la punta de la componente V´2, y es perpendicular a QO41. Un segundo ejemplo del uso del método de resolución se da en la Fig. 5.7 que ilustra un mecanismo compuesto comúnmente empleado en las limadoras, como un método para mover el émbolo macho que lleva la herramienta para cortar. La inclinación del eslabón 5 se ha exagerado para ilustrar con mayor claridad esta construcción. Supondremos que la velocidad del punto P en la manivela motriz 2 es conocida, y que la velocidad del punto Q en el émbolo 6 es la requerida.
V´P tienen una componente igual a cero sobre RO41.
Finalmente, R y Q son puntos sobre el eslabón 5, y por lo anterior tienen iguales componentes de velocidad sobre 5. El método por resolución requiere la construcción de los triángulos d y e además fija la distancia del vector VQ, la cual representa la velocidad de Q.
Velocidades angulares
Cuando dos cuerpos se encuentra en moviendo, se puede demostrar que sus velocidades angulares instantáneas con respecto aun tercer cuerpo, son inversamente proporcionales a la distancias desde su centro instantáneo común, a los centros instantáneos sobre los cuales están pivoteando en el tercer cuerpo. De este modo, en la Fig. 5.8, 2 y 3 son dos cuerpos en movimiento con respecto a 1. Los tres centros instantáneos O21O23 y O31 se consideran localizados como queda ilustrado con el teorema de Kennedy. O23 es un punto común para 2 y 3. Como es un punto 2, su velocidad lineal instantánea es igual a ω2/1(O23O21). Como es también un punto en 3, se está movimiento con una velocidad lineal ω3/1(O23O31). Por lo consiguiente,
Cuando un de estas velocidades angulares en conocida, la otra puede determinarse gráficamente. La construcción queda indicada en la Fig. 5.8. Supongamos que ω2/1 es conocida y que ω3/1 se tienen que determinar. Tracemos O31L perpendicular (o a cualquier ángulo conveniente) a O31 O21 con una longitud que represente a ω2/1. Unamos LO23 y alarguemos esta líneas hasta encontrar O21M, paralela a O31L. Por triángulos semejantes,
Por lo tanto, O21M representa a ω3/1 a la misma escala que O31L representa a ω2/1. Cuando O23 cae entre O21 y O31 los cuerpo 2 y 3 giran en sentidos opuestos; pero cuando cae en la misma extensión de O21 O31, hace que los cuerpos 2 y 3 giren en el mismo sentido.
Ejemplo. Las fig. 5.9 muestran el mismo mecanismo de manivela, biela y corredora en dos posiciones. En cada caso, considerando que la velocidad angular de la manivela 2(ω2/1) es conocida, encontrar gráficamente la velocidad angular del eslabón 4(ω4/1).
Método de imagen
Consideraremos ahora un método gráfico para determinar las velocidades y aceleraciones de puntos en los mecanismos, el cual ha probado tener una aplicación muy amplia y una importancia práctica muy considerable. Este método generalmente conocido como el “método de imagen”, esta descrito en Kinematik del profesor Burnester. La construcción en un diagrama de aceleración, comúnmente requiere la determinación anterior de cierta velocidades; por esto discutiremos en primer lugar este último problema.
La imagen de velocidad
Si hay dos puntos A y B sobre un cuerpo con movimiento coplanario, entonces la velocidad absoluta de B es igual a la suma vectorial de la velocidad absoluta de A y la velocidad relativa de B con respecto a A. El método “imagen de velocidad” esta basado en lo anteriormente establecido. Expresado vectorialmente :
VB = VA + VB/A
Consideremos un eslabón como el ilustrado en la Fig 5.11a, pivoteando en O y conteniendo tres puntos A, B y C y girando en el sentido de la manecillas del reloj, con una velocidad angular ω.
La velocidad del punto A es conocida y enunciada por el vector VA. Se desea conocer la velocidad de los puntos B y C . Esto, desde luego , puede efectuarse según el método del Art. 5.1, pero esta discusión está basada en el principio esbozado en el párrafo anterior.
Debe tomarse en cuenta que B ahora esta debajo de A mas bien que su propia derecha, en otras palabras, ha girado alrededor de A a través del mismo ángulo que A ha girado alrededor de O.
Esto se puede aclarar marcando las letra en un pedazo de papel el cual representa el eslabón y pivoteándolo entre los dedos en el punto O. Para la posición ilustrada en la Fig. 5.11a, la velocidad del punto B relativa al punto A está en un dirección vertical.
Empleando este hecho y los principios básicos establecidos arriba podemos trazar el diagrama de imagen de velocidad, ilustrado en la fig. 5.11c. Las líneas sobre este diagrama están enumeradas en el mismo orden en que fueron trazadas. Una tabla explicativa indica la dirección de las líneas y lo que estas representa, se muestra en la fig. 5.11d. Del punto considerado o “polo” o, trazamos la línea oa perpendicular a OA, representando VA(igual a ωOA) a cualquier escala de velocidad conveniente . La velocidad relativa de B hacia A (VB/A), actúa en un dirección perpendicular a AB. La velocidad absoluta tiene una dirección perpendicular a una línea desde B hasta O. De ahí , desde el polo o , tracemos la línea 3 perpendicular a la línea OB de la Fig. 5.11a. Esta encuentra la línea 2 en el punto b, y ob representa la velocidad absoluta del punto B en la misma escala que oa representa la velocidad del punto A. También, ab, o la línea 2 en la fig. 5.11c, representa a la misma escala la velocidad del punto B relativo al punto A . Nótese que ba es la velocidad del punto A relativo al punto B; en otras palabras, tienen la misma magnitud pero en dirección opuesta.
Si el proceso se continúa por el trazo de la líneas 4,5 y 5 como fue esbozado en la tabulación (fig. 5.11d) encontramos todas las velocidades absolutas y relativas. Se debe observar que solamente es necesario calcular o conocer una velocidad, y el resto se determina por la dirección de varias líneas. Esto es cierto, ya que la velocidad angular del eslabón es la misma para todos los puntos alrededor de unos de otros, como se ha mostrado arriba. También debe notarse que el diagrama es geométricamente similar al eslabón original, pero girado en la dirección de rotación a través de 90°. Por lo tanto, si el eslabón original es girado 90° y la escala de velocidad se elige el eslabón original es girado 90°, y la escala de velocidad se elige en forma adecuada, automáticamente tenemos el diagrama de velocidad.
Debe notarse que cualquier línea que se origina en el polo o es una velocidad absoluta (es decir, relativa al eslabón fijo), mientras las líneas entre los otros dos puntos representan la velocidad de uno de estos punto relativos al otro. Ejemplo. En la cadena cuadrangular de la Fig. 5.12a, el eslabón AB gira con una velocidad angular constante ω2/1. Se requiere encontrar las velocidades absolutas de los puntos B, C y E en el adjunto. La velocidad del punto B se puede calcular, ya que es igual a ω2/1 AB.
Además actúa en una dirección perpendicular a AB. Esta velocidad la trazamos a alguna escala conveniente como la línea 1 del polo o en la fig. 5.12b. el movimiento del punto C relativo a B es un una dirección perpendicular a BC; por eso desde b, trazamos la línea 2 en esa dirección.
La velocidad del punto E relativo a C es perpendicular a una línea CE y se traza desde el punto c (línea 4), mientras que la velocidad del punto E relativa a B es perpendicular a una línea BE y es proyectada desde el punto b (línea 5), la intersección de las líneas 4 y 5 localiza el punto e. Una línea desde o hasta e nos da la velocidad absoluta del punto E (línea 6). La dirección de la velocidad del punto E se puede cotejar localizando el centro instantáneo O31.
La línea 6 debe de ser perpendicular a una línea desde su centro hasta el punto E. Los número en las líneas de la imagen indican el orden en que fueron trazadas, y la tabulación da su dirección y significado.
Imagen de aceleraciones
Esta basada en el mismo principio general referente a las aceleraciones y su construcción es similar a la de las imágenes de velocidad antes mencionadas. Se puede establecer como sigue:
Para dos untos A y B en un cuerpo con movimiento coplanario, la aceleración absoluta de B es igual a la suma vectorial de la aceleración absoluta de A y la aceleración de B relativa a A. Expresado vectorialmente:
aB = aA + aB/A
El punto P (Fig. 5.13) sobre un cuerpo en movimiento alrededor del centro instantáneo O, está sujeto a una aceleración tangencial at que actúa tangencialmente al movimiento y una aceleración normal an que actúa hacia el centro de curvatura, de donde siendo ω y α respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular del punto P. La distancia PB representa la aceleración a y es igual a la suma vectorial at y an.
Entonces calculamos el valor de αOA, la aceleración tangencial de A; y desde a´1 trazamos la línea a´1a´, o sea la línea 2´, perpendicular a AO que representa esta aceleración. Unimos o´ y a´ para obtener la línea 3´. Entonces o´a´ representa la aceleración total y absoluta del punto A.
La aceleración relativa del punto B hacia el punto A debe de localizarse en seguida. Para esto se requiere el cálculo de la aceleración normal (ω2AB) y tangencial (αAB). Empezando desde a´ trazamos las líneas 4´ y 5´, o sean a´b1 y b´1b´ paralela y perpendicular BA respectivamente. Si el punto b´ se une con el polo o´ la línea o´b´, o sea la línea 7´, representa la aceleración absoluta del punto B. La línea 6´ trazada desde a´ hasta b´ representa la aceleración total relativa del punto B con relación al punto A. Una tabulación, semejante a la empleada para la imagen de velocidad, se ilustra en la fig. 53.14c para ayudarnos a visualizar el procedimiento.
Si consideramos únicamente las línea sólidas 3´, 6´ y 7 ´, se distinguen dos factores. El primero es que la imagen de aceleración es semejante a la imagen de velocidad, ya que estas líneas corresponden a las líneas 1,2 y 3 de la fig. 5.11c y clarifican lo establecido al principio de este artículo, el segundo es que el triangulo formado por estas líneas es similar a aquel formado por os puntos OAB en la Fig. 5.14a. Este se encuentra girando hacia enfrente en la dirección de la velocidad angular, a través de un ángulo de (90 + tan-1ω2/α). El hecho de que las dos figuras sean semejantes es la base para emplear el término”imagen” en el nombre de la construcción y que se pueden emplear para cotejar.
En la construcción del diagrama de aceleración se debe tener cuidado de asegurarnos que el vector de la aceleración normal para cada punto sea trazado en una dirección hacia el otro punto al cual se refiere la aceleración y no separándose de él. Le línea de aceleración tangencial se debe trazar en la dirección opuesta a aquella de la velocidad del punto si la aceleración angular es de carácter negativo, esto es, cuando la velocidad angular va decreciendo. Entonces, en la fig. 5.14 si α es negativa o en sentido opuesto a ω entonces a´1a´ se debe dibujar en una dirección inversa a la mostrada en la figura.
Construcción gráfica de la aceleración normal
Cuando la velocidad de un punto relativa a un segundo punto en un mismo cuerpo es conocida, y también su distancia al otro punto, entonces la aceleración normal relativa se puede encontrar gráficamente.
En la fig. 5.15, sea AO la distancia (S) entre los puntos A y O a una escala de 1 cm = k m. También permitámonos que AB a 90° con AO representen la velocidad (VA/O) a una escala de 1 cm = m m/seg de este modo S = kAO m y VA/O = mAB m/seg, donde AO y AB son unidades en cm. Ahora la aceleración relativa normal de A hacia O es
diagrama e aceleración.
Para que sea posible encontrar las aceleraciones normales por el método gráfico acabado de esbozar, la escala para el diagrama de velocidad deberá ser 1 cm = √kn unidades de velocidad. Figura 5.15 Ejemplo 1. Mecanismo de corredera, biela y manivela, cálculo de aceleración
Generalmente es más conveniente ajustar los valore apropiados para las escalas de desplazamiento y aceleración y después calcular la escala de velocidad.
El punto B se mueve perpendicular con respecto a AB con una velocidad de ωAB, la cual debemos calcular. El punto C tiene una velocidad absoluta a lo largo de CA y su velocidad relativa hacia B en una dirección normal con respecto a BC. Con esta información podemos dibujar el triangulo obc en la fig. 5.15b, según las líneas 1, 2 y 3. La velocidad del punto D relativa a C es perpendicular a la línea CD, mientras que la del punto D relativa al punto B es normal a la línea BD. Trazamos estas líneas en la parte b de la figura según las líneas 4 y 5 y por su intersección localizamos el punto d. La línea 6 desde el polo o hasta el punto d nos da la velocidad absoluta del punto D. Una tabulación explicando el significado de las líneas se ilustra en la Fig. 5.15c. Habiendo determinado las diferentes velocidades ahora estamos en posibilidad de trazar los diagramas de imágenes de aceleración.
El polo o´ es el punto de partida para el diagrama de aceleración, que debe ser dibujando a doble escala para mayor claridad. El punto B no tienen aceleración tangencial, ya que se considera que la biela AB tienen un movimiento de velocidad angular constante . De ahí que, su aceleración total es una normal, igual a ω2AB que actúa hacia A. El valor de esta cantidades encuentra gráficamente dibujando AM normal hacia AB e igual en distancia con ob, o sea la línea 1 del diagrama de imagen de velocidad. Terminando la construcción del triángulo recto, obtenemos la distancia AM igual a V2 B/AB o sea ω2AB . En el diagrama de aceleración la línea 1´o sea o´b´, se traza dos veces la distancia de AN en una dirección paralela a BA.
El punto C tendrá aceleración normal y tangencial con relación al punto B. La aceleración normal de C con relación B queda indicada por el triangulo CKL, de donde BK tiene igual distancia a la línea 2, o esa VC/B y BL es la aceleración normal relativa. Esta última se traza a doble escala desde el punto b´ mediante la línea 2´, paralela a BC. La aceleración tangencial de C relativa a B actuara normalmente hacia BC y se traza en una distancia infinita mediante la línea 3´.
La aceleración absoluta del punto C debe de ser horizontal, ya que su movimiento está limitado en esa dirección, de ahí que la línea 4´ es trazada desde el polo o´ encontrado la línea 3´ hasta c´.
La aceleración del punto C, es entonces la línea 4´o sea o´c´.
Efectuando una construcción similar, podemos establecer la aceleración del punto D relativa al punto B. El triangulo recto BQR, empleando la línea 5, o sea bd, de la imagen de velocidad, nos da RD, la aceleración normal del punto D relativa al punto B. Esta se traza a doble escala partiendo de b´ mediante la línea 5´. La aceleración tangencial de D relativa a B es perpendicular a ésta y la trazamos con la línea 6´.
Nuevamente la aceleración absoluta del punto D relativo a C, se encuentra por el triangulo DST empleando la línea 4, o sea cd, de la imagen de velocidad como CT. Esta distancia se mede a doble escala desde c´ como la línea 7´. La aceleración tangencial de D relativa a C es perpendicular a ésta y la trazamos como la línea 8´.
La intersección de las líneas 6´y 8´ nos localiza el punto d´ y o´d´ o sea la línea 9´ es la aceleración absoluta del punto D. La aceleración total relativa de C hasta B es la línea 10´ trazada desde c´ hasta b´; desde D hasta B es la línea 11´ trazada desde d´ hasta b´; desde D hasta C es la línea 12´ trazada desde d´ hasta c´. Obsérvese que el triangulo b´c´d´, es semejante al triangulo BCD. Considerando únicamente las líneas llenas de la fig. 5.15d, se puede ver que se aplican los principios básicos de los diagramas de imagen de aceleración; en otras palabra , la aceleración del punto D (línea 9´) es igual a la suma vectorial de la aceleración absoluta del punto B (línea 1´) y la aceleración del punto D relativa al punto B (línea 11´). Un resumen semejante se puede hacer con la relación a los puntos D y C.
Una tabulación dando la dirección el sentido de las diferentes líneas del diagrama de imagen de aceleración se ilustra en la fig. 5.15e. Ejemplo 2. La fig. 5.16 muestra a el mecanismo de un leva con un rodaja que esta pivoteada. El perfil de la leva tiene la forma de un arco circular con centro en B. Se requiere encontrar la velocidad angular y la aceleración angular de la rodaja, tomando en cuenta una velocidad angular constante de la leva.
El triángulo de velocidad obc tienen sus catetos respectivos perpendiculares con AB, BC y CD. La distancia ob es igual a ωAB de donde ω es la velocidad angular del excéntrico. La distancia oc representa la velocidad de C. La velocidad angular de la rodaja es igual a oc/CD donde oc está expresada en unidades de velocidad y CD es la distancia real del brazo. Para el diagrama de aceleración, las líneas se dibujan en el orden ilustrado por las figuras en el diagrama, empezando desde el polo o´. Las dos tablas en la figura indican la dirección y el significado de cada línea trazada.
Las tres aceleraciones normales o´b´, b´c´1, y o´c´2 que corresponden a las líneas 1´2´y 4´
respectivamente, su pueden calcular o localizar gráficamente. En el último caso las escalas de desplazamiento, velocidad y aceleración deben de conservar la relación indicada en el art. 4.8
Las líneas de la imagen de aceleración se trazan en el orden indicado por la numeración. La localización del punto c´ es la intersección de las líneas 1´2´y 4´ respectivamente, se pueden calcular o localizar gráficamente.
En el último caso las escalas de desplazamiento, velocidad, y aceleración deben de conservar la
relación indicada en el Art. 5.4.3. Las líneas de la imagen de aceleración se trazan en el orden indicado por la numeración. La localización del punto c´ es la intersección de las líneas 3´y 5´. La aceleración angular requerida de la rodaja es igual a la aceleración tangencial de C, la cual esta representada por c´2c´ o sea la línea 5´, dividida por la distancia actual de CD. Ejemplo de resumen. Para ilustrar los diferentes métodos para encontrar velocidades y
aceleraciones descritos en este capítulo, consideraremos el mecanismo de seis eslabones ilustrado en la Fig. 5.17a, en el cual todos los centros instantáneos han sido localizados. La velocidad del punto R queda indicada por el vector VR y se desea conocer: la velocidad del punto T mediante (a) el método eslabón a-eslabón (b) el método directo, o línea-de-centros (considerando R como un punto en el eslabón 2 y T como un punto en el eslabón 6) (c)el método de resolución y (d) el método imagen de velocidad. (e) Si la velocidad angular del eslabón 2(ω2/1) se representa por una línea de 1 cm de largo, se desea encontrar las velocidades angulares correspondientes a los eslabones 3 y 4 . (f) Considerando que la velocidad del punto R es constantes en magnitud ( esto es, ω2/1 es constante), se desea encontrar la aceleración del punto T por imagen de aceleración.
(a) Método eslabón-a-eslabón. Los dos puntos R y S se encuentran en el eslabón 3 y por esto giran alrededor del centro de pivoteo O31. En la Fig.5.17a, el punto R es girado alrededor de O31 hasta el eslabón 4, y se traza el triángulo O31GS para encontrar la velocidad de S. Los dos puntos S y T son puntos en el eslabón 5 y por esto giran alrededor del centro de pivoteo O51.
(b) Método directo o línea de centros. Considerando R como un punto en el eslabón 2 y T como un punto en el eslabón 6, los tres centros instantáneos que se emplearán serán O21, O26 y O61. Estos se localizan en la fig. 5.17a. Los puntos R y el centro instantáneo O26 son dos puntos en el Figura 5.17a Ejemplo de resumen eslabón 2 y por esto giran alrededor del centro de pivoteo O21. El vector VR entonces es trasportado alrededor de O21 a través de una línea O21O26, y el triángulo O21O26J es trazado para encontrar la velocidad de O26. Esto entonces se debe relacionar de una manera semejante para el
punto T.
De cualquier forma el centro de pivoteo O61 está en el infinito, lo que quiere decir que cualquier punto sobre el eslabón 6 tienen la misma magnitud y dirección de velocidad. Por lo tanto la velocidad de O26, un punto en el eslabón 6, es igual a la velocidad de T, y el vector es simplemente transferido al punto T.
(c) Método por resolución. La velocidad de VR del punto R se puede dividir en dos componentes; una sobre el eslabón 3, la cual llamamos V1 y la otra perpendicular a este eslabón como está indicado en la fig. 5.17b. La componente sobre el eslabón debe de ser igual en los dos extremos y de esta forma queda ilustrado como V´1 en el punto S. Desde el extremo de la componente V1 en S, se traza una línea normal al eslabón 3 que representa al otro componente. Donde intersecta la velocidad resultante del vector S, que es perpendicular al eslabón 4, se determina la velocidad de S.
(d) Método de imagen de velocidad. Empezando desde el polo o (fig.5.17b) la velocidad conocida del punto T se traza perpendicular al eslabón 2. La velocidad del punto S relativa a R es en una dirección perpendicular a la línea RS , o sea el eslabón 3. Por lo tanto, desde r en el diagrama trazamos la línea 2 perpendicular al eslabón 3. La velocidad del punto S es un una dirección perpendicular al eslabón 4. Como la velocidad de S es absoluta por naturaleza, o sea relativa al eslabón fijo, trazamos la línea 3 desde el polo o perpendicular al eslabón 4. La intersección de las líneas 2 y 3 nos localiza los puntos s; y os, o sea la línea 3, es la velocidad del punto S.
La velocidad del punto T relativa a S es un una dirección perpendicular al eslabón 5, por esto la línea 4 se dibuja desde s, normal ala eslabón 5. La velocidad del punto T debe e horizontal. Puesto que es relativa al eslabón fijo, se traza desde el polo o. La intersección de las líneas 4 y 5 determinan el punto t; y ot, o sea la línea 5, representa la velocidad del punto T.
(e)Velocidades angulares. Para localizar la velocidad angular del eslabón 4, conociéndola la velocidad angular del eslabón 2, se emplean tres centros, a saber O21,O24 y O41. La línea que representa la velocidad angular del eslabón 2 se proyecta en O41 (Fig.5.17c) y se dibuje el triángulo O24O41K. En O21 se traza una línea paralela a la línea que representa ω2/1 hasta encontrar la hipotenusa de este triángulo. La distancia de esta línea representa ω4/1 a la misma escala que la primera línea. O41K representa ω2/1.
Desde O21 se traza una línea paralela a O31L que representa ω3/1. (f) Imagen de aceleración. Las velocidades absolutas y relativas necesarias en el dibujo de este diagrama, se toman del diagrama de imagen de velocidad de la fig. 5.17b. Como se considera la velocidad del punto R una constante, solamente tiene aceleración normal. Se encuentra que su magnitud es BR por el triángulo recto ABO21. (Véase Fig. 5.17c).
La imagen de aceleración se traza a triple escala para su mayor claridad; por esto esta distancia se traza desde el punto o´ paralela al eslabón 2 tres veces mas grande para obtener el eslabón 1´ o sea o´r´.
El punto S tendrá aceleraciones normales y tangenciales relativas al punto R. La aceleración normal se encuentra trazando la línea 2 de la imagen de velocidad en S; y la distancia CS, se localiza por la construcción del triángulo rectángulo, trazándola a triple escala desde r´ paralela al eslabón 3 para obtener la línea 2´. La aceleración tangencial de S relativa a R es perpendicular a esta línea y es marcada 3´.
La aceleración absoluta del punto S relativa a la tierra es la suma vectorial de las aceleraciones normales y tangenciales. Si empleamos la línea 3 de la imagen de velocidad en el punto S la distancia SD es la aceleración normal de S relativa al eslabón fijo 1. Como éste es un valor absoluto, se proyecta a triple escala desde el polo o´ paralelo al eslabón 4, mediante la línea 4´.
La aceleración tangencial de S relativa a la tierra es una normal al eslabón 4 y se traza como la línea 5´. La intersección de las línea 3´ y 5´ localiza s´. La línea 6´ desde el polo o´ hasta s´ representa la aceleración absoluta del punto S.
El punto T tiene ambas aceleraciones, normal y tangencial, relativas al punto S. Colocando la línea 4 de la imagen de velocidad en el punto T y dibujando el triángulo recto obtenemos TE como la aceleración normal de T relativa a S. Esta se proyecta a triple escala como la línea 7´, desde s´ y paralelamente al eslabón 5. La aceleración tangencial es perpendicular a ésta y queda ilustrada como la línea 8´. Cualquier aceleración absoluta de la corredera 6, o se a el punto T, debe ser horizontal. De ahí que la línea 9´, se dibuja desde el polo o´ hasta intersectar la línea 8´en t´. La línea 9´o sea o´t´ es la aceleración absoluta del punto T. La tabulación mostrada en la Fig. 5.17c resume los pasos acabados de esbozar.
Aceleración Coriolis
El método de imagen para determinar aceleración es aplicable únicamente para localizar puntos
en un cuerpo rígido. Con referencia al mecanismo de cuadro articulado de la fig. 5.18a, podemos
escribir la ecuación vectorial.
aQ/1 = aP/1 + aQ/P = an
P/1 + at
P/1 + an
Q/P + at
Q/P
Escribiendo esta ecuación que es la base para la imagen de aceleración, estamos tratando únicamente con puntos localizados en el eslabón rígido 3. Ocasionalmente surgen problemas en los cuales es necesario encontrar la aceleración de puntos que no están en el mismo cuerpo rígido. Para tales problemas es necesario emplear la ley de Coriolis. Para ilustrarla, supongamos que el punto Q sobre el cuerpo 3, se esta moviendo a lo largo de una trayectoria curva CD sobre el cuerpo 2, conforme el cuerpo 2 gira alrededor del punto O (Véase fig. 5.18b). El punto P sobre el cuerpo 2 en el instante considerado se encuentre directamente debajo del punto Q; en otras palabras, es coincidente con él. El radio de curvatura de la trayectoria CD, es R. La aceleración del punto Q relativa al punto P queda indicada por la ecuación vectorial:P/1 + at
P/1 + an
Q/P + at
Q/P
y actúa sobre el centro de curvatura A de la trayectoria CD, que Q proyecta sobre el cuerpo 2. Si no hay cambio en la dirección de VQ/P, el radio R está en el infinito, y la aceleración normal relativa es igual a cero.
La dirección de la aceleración tangencial de Q relativa a P, que cambia la magnitud de la velocidad relativa VQ/P es paralela al vector VQ/P y actúa en la dirección α3/2 . La dirección de la acción del vector Coriolis 2VQ/Pω2/1 se encuentra por la rotación de 90° del vector VQ/P y actúa en la misma dirección como ω2/1. Si la aceleración del punto P en el cuerpo 2 es conocida o se puede localizar, la aceleración del punto Q entonces nos es dada por la ecuación vectorial:
Antes de determinar la aceleración del punto B3 es aconsejable entender claramente la acción. Debe de tomarse en cuenta que la velocidad lineal y la aceleración del punto B3 relativa al punto B2, no es la misma que la de B3 relativa al punto A. La velocidad de B3 relativa a A es igual a ABω3/1. Como el brazo y todos los puntos sobre el volante están girando alrededor de O, con una velocidad angular de ω2/1 la velocidad de B3 relativa a B2 es, VB3/B2 = AB (ω3/1 ± ω 2/1) = AB ω3/2. Si ω3/1 y ω2/1 giran en el mismo sentido, la velocidad angular neta ω3/2 es la diferencia entre ω3/1 y ω2/1; si están en sentidos opuestos, la velocidad angular neta es la suma, y se emplea el signo más. Similarmente, para las aceleraciones: at
B3/A = ABα3/1, mientras que at B3/B2 = AB(α3/1 ± α2/1) = ABα3/1. Si el volante 2 no girara es decir, si se encontrara estacionario o con un movimiento de traslación, ω2/1 y α2/1 igual a cero, para que ambas VB3/A y VB3/B2 = ABω3/1 y las dos at B3/A y at B3/B2 = ABα3/1.
En este ejemplo ω2/1=12 y ω3/1=8, y ambas actúan en sentidos opuesto; de donde VB3/A=ABω /1=1.5x8=12 pies por seg (3.65m por seg), y VB3/B2= AB(ω3/1+ω2/1)=1.5(8+12)=30 píes por seg. (9.14m por seg). En la misma forma para las aceleraciones: at B3/A = ABα3/1=1.5x 50=75 pies por seg2 (22.86m por seg2), y at B3/B2 = AB(α3/1+α2/1)=1.5(50+40)=135 pies por seg2 (35.15 m por seg2). Empleando primero la familiar imagen de aceleración, escribimos la siguiente ecuación:
por seg2 (9.15m por seg2). Si empleamos la ley de Coriolis, la Ecuación es:
expresión de Coriolis aB3/B2 = an B3/B2 + atB3/B2 + 2VB3/B2ω2/1. Si momentáneamente consideramos el eslabón 2 o la curva CD, fija, es evidente que al término an B3/B2 le favorece un cambio en
dirección de la velocidad 2VB3/B2 moviéndose a lo largo de la curva, mientras que al término at
B3/B2 le favorece el cambio en magnitud de este vector de velocidad. El componente Coriolis, 2VB3/B2ω2/1, esta basado en dos efectos que se suceden durante la rotación de la trayectoria. El primero es que el vector de velocidad VB3/B2 está girando con una velocidad angular ω2/1; de donde su dirección continuamente esta cambiando. La aceleración resultante es entonces VB3/B2ω2/. El segundo efecto se ocasiona por el hecho que, como el punto B3 viaja hacia fuera a lo largo de la curva CD, continuamente se esta acercando a un punto que tienen diferente velocidad en magnitud o dirección del que acaba de dejar, obteniendo una segunda aceleración de VB3/B2ω2/.
Procedimiento general para resolver problemas por la Ley de Coriolis
Para esbozar el procedimiento general que debe seguirse para resolver un problema por la ley de Coriolis, consideraremos que es conocida la aceleración de todos los puntos en el cuerpo 2, y que la aceleración en un punto en el cuerpo 3 es la requerida.
a) El primer paso es seleccionar un par de puntos coincidentes P2 y P3 en los dos cuerpos , o en la extensión de los cuerpos (de ser necesario, crecer imaginariamente la superficie de un eslabón), cuyo movimiento es conocido o fácilmente determinable.
b) Consideraremos el cuerpo 2 como fijo y localizaremos la trayectoria del punto P3 en él y después consideraremos el cuerpo 3 como fijo y encontraremos la trayectoria del punto P2 en él. Si los puntos coincidentes han sido seleccionados apropiadamente, una de estas trayectorias deberá ser una línea recta o un arco circular cuyo radio de curvatura es conocido. Este es el movimiento que se deberá emplear y en esta forma se podrá escribir la ecuación de Coriolis.
c) Si P3 proyecta un arco circular o una línea recta sobre el cuerpo 2 que se considera fijo, podemos escribir la ecuación como:
d) Las magnitudes y/o direcciones para cada expresión se determinan entonces (algunas
magnitudes podrán ser iguala cero), y se traza el diagrama vectorial. La secuencia del trazo de
las líneas no necesitan seguir el orden dado en la ecuación; generalmente aquellas líneas cuya
magnitud es desconocida se dibujan hasta el final. En cualquiera de las ecuaciones la
aceleración absoluta es igual a la suma vectorial de an + at y por eso deberán dibujarse en
sucesión.
Ejemplo 2. Para el segundo ejemplo vamos a considerar un caso que puede ser resuelto
únicamente empleando la ley de Coriolis. Esto se ilustra en la fig. 4.20a, donde tenemos una leva
girando a una velocidad angular constante de 20 rad por seg. en dirección contraria a las
manecillas del reloj. Una cara plana de la leva está en contacto con una rodaja, y se desea
determinar la aceleración de la rodaja en la posición indicada.
se puede escribir:
(60.96 m por seg2), y actúa hacia abajo en una dirección paralela a OB; at B2/1= 0, ya que ω2/1 es constante. an B3/B2 = 0, como la dirección de VB3/B2 está sobre una línea recta, o sea que el radio este giro es infinito. Si la superficie del excéntrico fuese curva en el punto de contacto con la rodaja, tendríamos que determinar su radio de curvatura R y emplear la ecuación an B3/B2 = V2 B3/B2 / R. La magnitud de at B3/B2 es desconocida, pero su dirección es paralela a la cara del excéntrico o sea la trayectoria del movimiento de B3 relativa al eslabón 2. La componente Coriolis = 2 VB3/B2 ω2/1 = 2x137x20=5480 plg por seg2 (139.19m por seg2) su dirección es perpendicular a la superficie del excéntrico y actúa hacia arriba y hacia la izquierda, es decir, en la dirección del vector VB3/B2 girando 90° en la dirección de ω2/1. La aceleración del punto B3 debe de ser verticalmente hacia arriba; por esto el diagrama se podrá trazar como queda indicado en la Fig. 5.20c. El punto b´3 cae en la intersección de las líneas 3´y 4´. La tabla suplementaria indica el procedimiento. La distancia o´b´3 representa la aceleración del punto B3, y por lo tanto la de la rodaja. Esta distancia en la escala es de 4300 plg por seg2 (109.22m por seg2). Ejemplo 3. Para el último ejemplo vamos a considerar el mecanismo mostrado en la fig. 5.21a en que el eslabón 2 gira con una velocidad angular constante de 100 rmp en sentido contrario de las manecillas del reloj. Se desea encontrar la aceleración del punto C en el eslabón 3. Empleando la ley de Coriolis y considerando los puntos coincidentes B2 y B3 se puede escribir la ecuación:
Consideremos ahora las expresiones de la ecuación de aceleración. No existe aceleración tangencial del punto B2, en vista de que ω2/1 es constante. Por esto la aceleración total aB2/0 es igual a la normal an
B2/0 o sea OBω2 2/1 = (6/12)( 100 x 2π/60)2 = 54.8 pies por seg2 (16.7 m por seg2). Actúa sobre O y es paralela al eslabón 2. La an B3/0´ = V2 B3/0´ / O´B = 3.22 (20/12) = 6.14 pies por seg2 (1.87 m por seg2) paralela al eslabón 3 y actuando sobre 0’. La aceleración tangencial del punto B3 es desconocida en magnitud, pero su dirección es perpendicular al eslabón 3.
izquierda. Este polígono queda mostrado en la Fig. 5.21c; la tabulación en la parte (d) de esta La aceleración normal del punto B2 relativa al punto B3 es igual a cero, ya que el movimiento es una línea recta o sea el radio de curvatura en el infinito. La magnitud de la aceleración tangencial del punto B2 relativa al punto B3 es desconocida pero la dirección es sobre el eslabón 3. El componente Coriolis 2 VB2/B3 ω3/1 = 2x4.2x1.92=16.13 pies por seg2 (4.92 m por seg 2) y su dirección está localizada por el giro del vector VB2/B3 , 90° en la dirección de ω3/1, o sea hacia la Figura 5.21. Ejemplo 3 de aceleración de Coriolis figura explica el procedimiento. Las expresiones al margen derecho de la ecuación han sido sumadas vectorialmente para igualarlas a la expresión (línea 1´) en el lado izquierdo. La aceleración del punto B3 se encuentre a escala de la línea 6´ en la figura, y su valor es 26.5 pies por seg2 (8.07 m por seg2). La aceleración del punto C se puede proporcionar, ya que la aceleración está en proporción directa con el radio; o sea aC/1 = a B3/1 (O´C / O´B) = 26.5 (30/20) = 39.7 pies por seg2 (12.1 m por seg2).
Conclusión. No era posible emplear el método imagen de aceleración en los últimos dos ejemplos, ya que los puntos concernientes no se podían considerar que estuvieran en un eslabón rígido. Fue necesario seleccionar un par de puntos coincidentes que se localizaran en diferentes eslabones. Estos puntos tienen movimiento relativo, y la aceleración de este movimiento relativo tuvo que localizarse.
